Кинематика. Линейная скорость движения по окружности выражается через угловую скорость и радиус окружности по формуле

1 Кинематика Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности. Простейшей моделью криволинейного движения является равномерное движение по окружности. В этом случае точка движется по окружности с постоянной по величине скоростью. Положение точки удобно описывать углом, φ который составляет радиус-вектор точки с некоторой осью, например с осью ОХ (рис. 7). Угловая скорость. Период и частота обращения. Величиной угловой скорости точки ω при движении по окружности называют отношение приращения угла поворота ее радиуса-вектора ко времени, за которое этот поворот произошел. Периодом движения точки по окружности называют время, за которое точка совершает полный оборот. Частота обращения это величина, обратная периоду. Угловая скорость, частота и период обращения при равномерном движении по окружности связаны между собой соотношениями: Линейная скорость движения по окружности выражается через угловую скорость и радиус окружности по формуле Ускорение тела при движении по окружности. При движении тела по окружности вектор скорости изменяется, поэтому у тела существует центростремительное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру и по модулю равное

2 Рисунок. Движение материальной точки по окружности Тангенциальное и нормальное ускорения. При криволинейном движении точки часто бывает удобно разложить ее ускорение на две составляющие (рис. 8): где единичный вектор, направленный по касательной к траектории в данной точке, единичный вектор по нормали к траектории, направленный к центру кривизны. Составляющая вектора ускорения, направленная по Рисунок 2. Тангенциальная и касательной к траектории, называется нормальная составляющие вектора тангенциальным (касательным) ускорением. Тангенциальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по модулю. Вектор направлен в сторону движения точки при возрастании ее скорости и в противоположную сторону при убывании скорости. Составляющая вектора ускорения, направленная по нормали к траектории в данной точке, называется нормальным ускорением. Нормальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению при криволинейном движении. Величины тангенциального и нормального ускорения вычисляются по формулам:

3 где радиус кривизны траектории в данной точке. При движении точки по окружности нормальное ускорение совпадает с центростремительным ускорением. Свободное падение тел. Ускорение свободно падающего тела. Свободным падением называется движение, которое совершает тело только под действием притяжения Земли, без учета сопротивления воздуха. Ускорение, с которым движется вблизи поверхности Земли материальная точка, на которую действует только сила тяжести, называется ускорением свободного падения. Ускорение свободного падения не зависит от массы тела. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Дальность и высота полета. При описании движения тела у поверхности Земли удобно выбрать систему координат так, чтобы одна из координатных осей (обычно ось ОХ) была направлена горизонтально, а другая (обычно OY) вертикально (рис.9). Тогда движение по оси ОХ будет равномерным, а по оси OY равнопеременным. В большинстве задач начало координат удобно совместить с точкой, откуда тело начинает движение. Для тела, брошенного от поверхности Земли со скоростью под углом α к горизонту, в системе координат, изображенной на рис.9, Рисунок 3. Движение тела, брошенного под углом к горизонту Исключая из этих соотношений время t, получаем уравнение траектории тела которое является уравнением параболы. В точке с координатой

4 тело достигает наибольшей высоты Величины называются, соответственно, дальностью и высотой полета. Пример Стрела пущена вертикально вверх. Проекция ее скорости на вертикальное направление меняется со временем согласно графику на рисунке. В какой момент времени стрела достигла максимальной высоты? Решение: Стрела находится в свободном падении, то есть движется с ускорением свободного падения, направленным вертикально вниз. При этом скорость уменьшается и в верхней точке равна нулю. Следовательно, момент времени, когда стрела будет в верхней точке равен 3с. Ответ: 3с. Пример 2 Камень, брошенный вертикально вверх с поверхности Земли со скоростью 20 м/с, упал обратно на Землю. Сопротивление воздуха мало. Найти время полёта камня. Решение: Для описания движения камня помещаем начало координат на поверхности земли, совмещая с телом, ось y выбираем вертикально вверх. Камень летит

5 свободно с ускорением свободного падения, направленным вертикально вниз. Напишем зависимость координаты от времени t. y g Вектор начальной скорости направлен по оси, поэтому берем со знаком «+». Вектор ускорения свободного падения направлен в противоположную сторону оси, поэтому берём со знаком «-». 0 V За время полёта камень снова окажется на поверхности земли, то есть координата. Следовательно: Так как время полёта не равно нулю, приравняем к нулю скобку: Ответ: Пример 3. Тело брошено под углом к горизонту с начальной скоростью. Найти дальность полёта и максимальную высоту. На примере этой задачи рассмотрим алгоритм решения подобных задач.

6 . Сделаем рисунок. y t под V g V y V max V y V x β V α V x L t пол x 2. Зададим оси координат. Начало координат и направление осей выбираем исходя из условия задачи. В нашем случае, начало координат совпадает с точкой бросания, ось x направляем горизонтально, ось y вертикально. 3. Записываем законы по которым изменяются координаты тела и проекции скорости с течением времени по общим формулам: Знаки перед и зависят от их направления относительно оси: сонаправленные «+», иначе «-». В нашем случае, координата тела по оси x будет изменяться следующим образом:, потому что так выбрали положение начала координат;, так как прилежащий катет; проекция вектора на ось x равна нулю, потому что ; Аналогично для оси y:

8 6. Найдём гол наклона вектора скорости к горизонту в любой момент времени. Пример 4. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 20 м с центростремительным ускорением 5 м/с 2. Найдите скорость автомобиля. Решение: Запишем формулу для центростремительного ускорения. Ответ: Пример 5. Две шестерни, сцепленные друг с другом, вращаются вокруг неподвижных осей (см. рисунок). Большая шестерня радиусом 0 см делает 20 оборотов за 0 с, а частота обращения меньшей шестерни равна 5 с. Каков радиус меньшей шестерни? Ответ укажите в сантиметрах. Дано: СИ Решение: Так как шестерни сцеплены, то их линейные скорости в точке соприкосновения должны быть одинаковы. Ответ:.

9 Задания для самостоятельного решения. Камень, брошенный вертикально вверх с поверхности Земли со скоростью 30 м/с, упал обратно на Землю. Сопротивление воздуха мало. Найти время полёта камня. 2. Материальная точка движется по окружности радиусом R со скоростью. Как нужно изменить скорость её движения, чтобы при увеличении радиуса окружности в 2 раза центростремительное ускорение точки осталось прежним? 3. Тело, брошенное со скоростью под углом α к горизонту, в течение времени t поднимается на максимальную высоту h над горизонтом. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно определить. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры. ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ А) время подъёма t на максимальную высоту Б) максимальная высота h над горизонтом ФОРМУЛЫ. 4. Точка движется по окружности радиусом R с частотой обращения ν. Как нужно изменить частоту обращения, чтобы при увеличении радиуса окружности в 4 раза центростремительное ускорение точки осталось прежним? 5. Найти линейную скорость Луны, обусловленную ее обращением вокруг Земли. Период вращения Луны Т = 27,3 суток. Расстояние Земля Луна R = 3, км. 6. Корабль-спутник «Восток-5» с космонавтом Николаевым на борту совершил N = 64 оборота вокруг Земли за t = 95 ч. Определить среднюю скорость полета v. Орбиту корабля можно считать круговой и отстоящей от поверхности Земли на h = 230 км, радиус Земли 6400 км. 7. Диск равномерно вращается относительно оси, проходящей через его центр и ему перпендикулярной. Линейная скорость точек края диска v = 3 м/с. У точек, расположенных на расстоянии l = 0 см ближе к оси, скорость v 2 = 2 м/с. Какова частота n вращения диска?

10 Ответы:. 6 с. 2. увеличить в,73 раза. 3. А-4, Б-. 4. уменьшить в 2 раза м/с. 6. 7,8 км/c/ 7.,59 об/c.