Множества: понятие, определение, примеры

Людям постоянно приходится иметь дело с различными совокупностями предметов, что повлекло за собой возникновение понятия числа, а затем и понятия множества, которое является одним из основных простейших математических понятий и не поддается точному определению. Нижеследующие замечания имеют своей целью пояснить, что такое множество , но не претендуют на то, чтобы служить его определением.

Множеством называется собрание, совокупность, коллекция вещей, объединенных по какому-либо признаку или по какому-либо правилу. Понятие множества возникает путем абстракции. Рассматривая какую-либо совокупность предметов как множество, отвлекаются от всех связей и соотношений между различными предметами, составляющими множества, но сохраняют за предметами их индивидуальные черты. Таким образом, множество, состоящее из пяти монет, и множество, состоящее из пяти яблок, — это разные множества. С другой стороны, множество из пяти монет, расположенных по кругу, и множество из тех же монет, положенных одна на другую, — это одно и то же множество.

Приведем несколько примеров множеств. Можно говорить о множестве песчинок, составляющих кучу песка, о множестве всех планет нашей солнечной системы, о множестве всех людей, находящихся в данный момент в каком-либо доме, о множестве всех страниц этой книги. В математике тоже постоянно встречаются различные множества, например множество всех корней заданного уравнения, множество всех натуральных чисел, множество всех точек на прямой и т.д.

Математическая дисциплина, изучающая общие свойства множеств, т.е. свойства множеств, не зависящие от природы составляющих их предметов, называется теорией множеств. Эта дисциплина начала бурно развиваться в конце XIX и начале XX в. Основатель научной теории множеств — немецкий математик Г. Кантор.

Работы Кантора по теории множеств выросли из рассмотрения вопросов сходимости тригонометрических рядов. Это весьма обычное явление: очень часто рассмотрение конкретных математических задач ведет к построению весьма абстрактных и общих теорий. Значение таких абстрактных построений определяется тем, что они оказываются связанными не только с той конкретной задачей, из которой они выросли, но имеют приложения и в ряде других вопросов. В частности, именно так обстоит дело и с теорией множеств. Идеи и понятия теории множеств проникли буквально во все разделы математики и существенно изменили ее лицо. Поэтому нельзя получить правильного представления о современной математике, не познакомившись с элементами теории множеств. Особенно большое значение имеет теория множеств для теории функций действительного переменного.

Множество считается заданным, если относительно любого предмета можно сказать, принадлежит он множеству или не принадлежит. Иными словами, множество вполне определяется заданием всех принадлежащих ему предметов. Если множество состоит из предметов и только из этих предметов, то пишут .

Предметы, составляющие какое-либо множество, принято называть его элементами. Тот факт, что предмет т является элементом множества , записывается в виде ", или " ". Если же предмет , то пишут: . Каждый предмет может служить лишь одним элементом заданного множества; иными словами, все элементы (одного и того же множества отличны друг от друга.

Элементы множества могут сами быть множествами, однако, во избежание противоречий, приходится требовать, чтобы само множество не было одним из своих собственных элементов: .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством . Например, множество всех действительных корней уравнения и является также элементом множества входит в есть часть есть подмножество или что содержится в или

Например, множество есть часть множества .

Ясно, что всегда . Удобно считать, что пустое равны , если они состоят из одних и тех же элементов. Например, множество корней уравнения и множество между собою равны.

Определим правила действий над множествами .

Объединение или сумма множеств

Пусть имеются множества . Объединением (обозначается символом , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из "слагаемых"

При этом, даже если элемент лишь один раз. Ясно, что

Пересечение множеств

Пересечением (обозначается символом . называется множество , то есть , то .

Если пересечение множеств и , то говорят, что эти множества не пересекаются .

Для обозначения операции суммы и пересечения множеств употребляют также знаки и . Таким образом, есть сумма множеств , а — их пересечение.

Читателю рекомендуется доказать, что сумма и пересечение множеств связаны обычным распределительным законом

Разность множеств

Разностью двух множеств и всех тех элементов из , которые не принадлежат .

Если , то разность называют также дополнением к множеству .

Нетрудно показать, что всегда и .

Таким образом, правила действий над множествами значительно отличаются от обычных правил арифметики.

Конечные и бесконечные множества

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если же число элементов множества неограниченно, то такое множество называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел бесконечно.

Рассмотрим два каких-либо множества и конечно, то количество его элементов характеризуется некоторым натуральным числом — числом его элементов. В этом случае для сравнения количества элементов множеств и , число элементов в и и

Взаимно однозначное соответствие множеств

Пусть снова и и один элемент из не найдется парного к нему элемента из больше элементов, чем в и множество всех четных чисел . Какое множество содержит больше элементов? На первый взгляд кажется, что первое. Однако мы можем образовать из элементов этих множеств пары, как указано ниже.

Ни один элемент и ни один элемент Таблица 2

Тогда многие элементы из остаются без пар. С другой стороны, мы могли бы составить пары и так:

Теперь многие элементы из остаются без пар.

Таким образом, если множества взаимно однозначное соответствие . Например, между рассмотренными выше множествами и одинаковое количество элементов или равномощны . Если же при любом способе образования пар некоторые элементы из , то говорят, что множество счетно . Иными словами, множество последовательности .

Таблица 1 показывает, что множество всех четных чисел счетно (верхнее число рассматривается теперь как номер соответствующего нижнего числа).

Счетные множества это, так сказать, самые маленькие из бесконечных множеств: во всяком бесконечном множестве содержится счетное подмножество.

Если два непустых конечных множества не пересекаются, то их сумма содержит больше элементов, чем каждое из слагаемых. Для бесконечных множеств это правило может и не выполняться. В самом деле, пусть — множество всех нечетных чисел и — множество всех натуральных чисел. Как показывает таблица 4, множества счетны. Однако множество Таблица 4

Нарушение правила "целое больше части" для бесконечных множеств показывает, что свойства бесконечных множеств качественно отличны от свойств конечных множеств. Переход от конечного к бесконечному сопровождается в полном согласии с известным положением диалектики — качественным изменением свойств.

Докажем, что множество всех рациональных чисел счетно . Для этого расположим все рациональные числа в такую таблицу:

Здесь в первой строке помещены все натуральные числа в порядке их возрастания, во второй строке 0 и целые отрицательные числа в порядке их убывания, в третьей строке — положительные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их возрастания, в четвертой строке — отрицательные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их убывания и т. д. Ясно, что каждое рациональное число один и только один раз находится в этой таблице. Перенумеруем теперьвсе числа этой таблицы в том порядке, как это указано стрелками. Тогда все рациональные числа разместятся в порядке одной последовательности (табл.6).

Этим установлено взаимно однозначное соответствие между всеми рациональными числами и всеми натуральными числами. Поэтому множество всех рациональных чисел счетно.

Множества мощности континуума

Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества и точками отрезка , то говорят, что множество имеет мощность континуума . В частности, согласно этому определению, само множество точек отрезка имеет мощность континуума.

Из рис. 1 видно, что множество точек любого отрезка и всей числовой прямой — имеют мощность континуума.

Значительно более интересен такой факт: множество точек квадрата имеет мощность континуума. Таким образом, грубо говоря, в квадрате «столько же» точек, сколько и в отрезке.