3. Вычисление объёмов, 4. Площадей поверхностей тел вращения

2 S S A() k Поперечное сечение R площадью A() Тело S рассекается плоскостью P, перпендикулярной оси OX в точке [a; b]. Сечение называется типичным поперечным сечением тела S и обозначается R. Пусть из каких-либо соображений известна его площадь A(). Тогда V k = V S = lim n A(ξ k ) k k S a b A d Пример. Объём пирамиды (конуса) по площади основания и высоте. Пирамида (конус) произвольные «складываем листочки» «тонкие слои» Решение. Школьная теор.: S O A() h A() = h2 2 A = S 2 V = a V ус. = b A d = S h 2 a b A d = S h 2 d = S 3 h 2 3 h h 2 h 1 h 2 h 2 d = S 3 h 2 3 = 1 3 S h h h 1 = 2

3 Архимед Приобретенный новый метод (новое «оружие») апробируется на знакомом объекте: еще раз найдем объем шара радиуса R (картинка несколько раз воспроизводилась). Центр шара совпадает с началом координат. Тогда его сечения плоскостями = будут окружностями радиуса R 2 2 1/2 A = π R 2 2. Поэтому b V = A d = +Rπ R 2 2 d = π R 2 3 +R a R 3 = 4πR3 R 3 Родоначальник идеи интегрирования Архимед получил этот (, ) результат без интеграла: установил, что объем шара в полтора раза меньше, чем объем описанного около него цилиндра. A Архимед считал это самым главным своим открытием и завещал именно эти два тела высечь на его могиле, местонахождение которой теперь неизвестно. Свою формулу для объема шара Архимед получил, используя известные к тому времени формулы объема цилиндра и конуса V ц = πr 2 h, V к = πr 2 h 3. Его рассуждения: Поставим на стол три тела: шар радиуса R, «двойной» конус с радиусом основания R, прямым углом в осевом сечении и «высотой» 2R, а так же цилиндр с радиусом основания R и высотой 2R. Рассечме каждое их них горизонтальной плоскостью, проходящей на высоте от стола (для определенности R < < 2R). Вычислим площади сечений каждого из тел. r r 1 r = R 2 ( R) 2 ; S ш, = π R 2 ( R) 2 ; R R R R r 1 = R; S к, = π R 2 ; S ц, = πr 2 не зависит от высоты 3

4 Но S ш, + S к, = πr 2 S ш, + S к, = S ц, причем это соотношение верно для любых горизонтальных сечений рассмотренных тел. Значит, то же справедливо и для объемов (сейчас это называется принципом Кавальери; по имеющимся сейчас сведениям, принципом владели древние греки еще тогда ), то есть V ш + V к = V ц сумма объемов шара и конуса равна объему цилиндра объем шара V ш = πr 2 2R πr2 R = 4 3 πr3. Отсюда: объем шара в полтора раза меньше, чем объем описанного около него цилиндра V ц = 2πR3 = V ш 4 3 πr3 3 2 Классическая сейчас задача о нахождении объема общей части двух цилиндров единичного радиуса, оси которых пересекаются под прямым углом, также решена Архимедом и имеется в его сочинениях. (Будет рассмотрена несколько позднее). 4

5 Объём «клина» Задача. Круговой клин отрезан от прямого кругового цилиндра радиуса R = 3 двумя плоскостями: первая оси цилиндра, вторая пересекает первую плоскость под углом 45 в центре цилиндра. Найти объём клина. Решение. Поместим начало координат в центр круга, лежащего в основании цилиндра, ось O направим вдоль диаметра AB, а ось O перпендикулярно ей в плоскости круга. Рассмотрим сечения плоскостями, перпендикулярными оси O. Эти сечения являются прямоугольниками со сторонами и A = V = d = = = 18 куб.ед. 5

6 2 1 A A O 2 ой способ решения задачи об объёме «клина» A() M O A() B N B ; 9 2 Задача. Предыдущая задача в несколько более общей постановке: радиус цилиндра произволен и равен R, а угол между плоскостями равен α. Изменения, конечно же, не принципиальные, и можно сразу переписать «старый» ответ. Но наша цель другая проиллюстрировать, что выбор поперечного сечения тела не однозначен, а от него зависят последующие «трудности» интегрирования. Решение. В выбранной как и ранее системе координат, оси O и O поменяем местами. Рассмотрим сечения плоскостями, оси O прямоугольные треугольники с основаниями = R 2 2 и высотами h = tg α = tg α R 2 2 V = 1 2 tg α R A = 1 2 h = 1 2 tg α (R2 2 ) R R 2 2 = tg α R 2 3 d = 1 2 2tg α 3 R 6 R = 2 3 R3 tg α R 2 2 d = Сечения - прямоугольники со сторонами и A = 2 9 2

7 A() сечения эллипсоида координатными плоскостями b X a Z c c 2 2 z Объём эллипсоида = 1 a b c2 a, b, c полуоси Задача. Найти объём эллипсоида с полуосями a, b, c. zo, Решение. Типичное поперечное сечение эллипс, получающийся в пересечении эллипсоида a с плоскостью Y = (отстоящей от координатной плоскости Oz на ). Уравнение такого эллипса: b O 2 z2 2 Y + = 1 a2 c2 b 2 2 z 2 + = 1; a b 2 c b 2 A = π a b 2 c b 2 = 2 b πac 1 2 а его полуоси a b 2 и c2 1 2 b 2 b 2 = 4 4πR3 πabc; a = b = c = R 3 3 Записать результаты для слоёв эллипсоида = πac 1 2 b b 2 V = 2 A d = = 2πac 3 3b 2 b 7 =

8 (, ) P секущая плоскость; R поперечное сечение; A площадь сечения Вывод: когда A известно, принципиальных проблем при вычислении объема нет! Это мы показали с помощью стандартной процедуры «разбиения, суммирования, предельного перехода»: A = π R 2 2 Архимед V S = lim λ n k V k A(ξ k ) k = a b A d «Мощь» приема была продемонстрирована несколькими примерами, список которых можно значительно расширить. Но все они опираются на «искусство» нахождения площади поперечного сечения A. А на этом пути нет общего метода, зато обширный простор для творчества! Но, как оказалось, есть частные случаи пространственных тел, для которых A всегда может быть найдено! Один из них тела вращения в инженерной практике крайне важен. К ним и приступаем 8

9 Тела вращения 9

10 Определение. Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением какой-либо плоской линии вокруг прямой, лежащей в плоскости этой линии. Для вывода уравнения поверхности вращения необходимо выбрать систему координат. Чтобы уравнение поверхности вращения выглядело проще, ось вращения Важность тел вращения Гончарный круг, токарный станок, станок с ЧПУ, Шар, цилиндр, конус принимают за одну из координатных осей. Для любой секущей плоскости P поперечное сечение R круг и поэтому A площадь сечения легко находится для произвольной «вращающейся» около определенной оси кривой f a A b A = π[f ] 2 Potter's Wheel 1

11 Объёмы тел вращения. Явное задание области V k = V S = lim A(ξ k ) k A d λ n k a Всё значительно упрощается! A() b Криволинейная трапеция D: = f, = a, = b, = ; вращается вокруг оси O A = π 2 V O = π a b 2 d Криволинейная трапеция D: = g, = c, = d, = ; вращается вокруг оси O A = π 2 V O = π c d 2 d

12 a Как задавать области f() D O b = f() Y b O = t, = (t) t [t ;t 1 ] M(r, φ) r φ Изучали Далее нас будут интересовать различные характеристики плоских фигур, Прежде чем о них говорить, эти фигуры надо задать 1. D: = f >, осью OX, прямыми = a и = b D = (, ) R 2 [a; b] [; f ] ; D: = a; = b; = ; = f ; S D ; L: = f() a X 2. Часто рассматривается параметрический способ задания функций и линий на плоскости, при котором координаты и рассматриваются как функции третьей переменной параметра t: cost = /a t [;2π]; = acost = bsin t Задание плоских областей и линий sin t = /b 3. Полярная система координат задается полюсом O, лучом Op, называемым полярной осью, и единичным вектором i того же направления, что и луч Op. Положение точки M на плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса O и углом φ, образованным отрезком OM с полярной осью и отсчитываемым против часовой стрелки (полярные координаты точки). Y M(r, φ) r M(, ) tgφ = O i p r = r(φ) = rcosφ = rsin φ r = формулы перехода от полярных координат к декартовым Зачем несколько j φ p систем координат O i X к полярным формулы перехода от декартовых координат ; 2 a = 1. b

13 Другие способы задания границ области «вращения» Формулы для других способов задания границ области вращения можно получить из базовых (для V O, V O ) не прибегая к дроблению подстановкой (как это было проделано при вычислениях площади криволинейной трапеции и длины участка кривой) Параметрические задания линии вращения Если линия вращения L задана параметрически: = t, = t ; t t a ; t b ; t a = a, t b = b; t t C ta ;t b, вращение происходит около оси OX, то подстановка = t d = t dt приводит к результатам b t b d t 2 V OX = π 2 d = π 2 t dt; V OY = π 2 d = π 2 t dt a t a c t 1 Задание области вращения в полярных координатах r = r φ L: r = r φ, φ α; β, r r = r φ β φ C α;β. Переходим к α p декартовым координатам: = r cos φ, = r sin φ; параметрические уравнения кривой ( c параметром φ ): β α p = r(φ) cos φ, α < β π φ α; β. = r(φ) sin φ, π/2 α < β π/2 Подставляя результаты в предыдущие формулы, выполнив преобразования, получим: V OP;φ= = 2π Сводим в r 3 таблицу (φ) sin φdφ V 3 φ=π/2 = 2π βr 3 (φ) cos φ dφ 3 α α β 13

14 полярный параметричес. явный Разные способы задания фигуры вращения тип Область вращения Ось Объём тела вращения = f ; a; b ;, C a,b OX V OX = π a b 2 d 1 = g ; c; d ;, C c,d OY V OY = π = t, = t ; t t 1, t 2 OX V OX = π c d t 1 2 d 2 t 2 2 t dt 3 = t, = t ; t t 1, t 2 OY V OY = π t 1 t 2 2 t dt 4 r = r φ ; r, r C α,β ; α < β π r = r φ ; r, r C α,β ; π/2 α < β π/2 OX V OP;φ= = 2π 3 α βr 3 (φ) sin φ dφ 5 OY V φ=π/2 = 2π 3 α βr 3 (φ) cos φ dφ 6 14

15 Шар и шаровой пояс 1. Вращение участка окружности = R 2 ; ; 1 вокруг оси OX: V ; 1 = 1π R 2 2 d = π R = π 1 R ; V OX = +Rπ R 2 2 d = π R 2 3 R 3 +R = 4πR3 R Вращение четверти окружности V OX = π t 1 = 2R 3 t 2 2 t dt = 2R 3 π/2 π/2 = R cos t ; t ; π/2 вокруг оси OX: = R sin t sin t 2 sin t dt = 2R 3 π/2 1 cos 2 t d cos t = 2R 3 cos t cos3 t 3 sin t 2 d cos t = π/2 = 4πR Вращение четверти окружности r = R; φ ; π/2 вокруг полярной оси OP: V OP = 2π β r 3 (φ) sin φ dφ = 4π π/2 R 3 sin φ dφ = 4πR3 cos φ π /2 3 α 3 3 = 4πR

16 Эллипсоиды вращения Объём в общем виде вычислен: V = 4 3 πabc. Частные случаи: эллипсоиды вращения - фигуры, получающиеся в результате вращения эллипса с полуосями a; b (например, в виде) 2 = 1 вокруг осей OX или OY. a b2 Так как a b, в первом случае получаем вытянутый, во втором сжатый сфероиды или эллипсоиды вращения. Их объёмы легко вычисляются из полученных выше формул: Пример. Найдем объем эллипсоида вращения, полученного вращением эллипса с полуосями a; b вокруг оси OX. Решение. У нас есть выбор способа задания эллипса: в явном виде, параметрическими уравнениями, в полярной системе координат. Остановимся на втором варианте (аргументы) эллипс задан параметрическими = acost уравнениями: = bsin t t [;2π] (с полуосями a; b). При изменении параметра t от π до функция (t) = acost возрастает, поэтому ответ выразится формулой (3): t 2 V OX = π 2 t dt = πab 2 sin 2 t sin t dt = t 1 = πab 2 = πab 2 π π π sin 2 t sin t dt = (1 cos 2 t)d(cost) = 4 3 πab2 16

17 Пример. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси O криволинейной трапеции с D: = =, = 4, =. = R = Решение. A = π 2 = π 2 = π R = O O 4 b 4 V OX = π 2 d = π 2 d = π 2 4 = 8π A = π a 2 Вращение может осуществляться не только вокруг координатных осей, но и прямых, параллельны осям. Легко догадаться, как поступать в таких случаях (два приема). Пример. Найти объём тела, образованного вращением R = 1 области с границами =, = 1, = 4 вокруг (; ) = прямой = 1. Решение. 1 Все необходимые атрибуты для решения = 1 задачи представлены 1 на рисунках. Применяя O необходимую формулу, (; 1) Почему 1 пунктир? имеем: V =1 = 1 4 πr 2 d = π d = π d = = 7π 6

18 Вращение около оси OY Пример. Найти объем тела, образованного вращением области между осью и кривой = 2, [1; 4] около оси. = 2 Решение. Изображаем на рисунке область, вращение которой образует интересующее нас тело, отмечаем типичный радиус, Область вращения Тело вращения R = 2 Все необходимое для решения задачи представлено на рисунках. Применяя необходимую формулу для объема тела вращения, имеем: V OY = 1 4 πr 2 d = π 1 4 2/ 2 d = 4π = 4π 3 4 = 3π 18

19 Вращение вокруг прямой, параллельной оси OY Задача. Область между параболой = и прямой = 3 вращается вокруг линии = 3. Найти объём образованного тела. Решение. Изображаем на рисунке область, вращение которой образует интересующее нас тело, отмечаем типичный радиус, R = = 2 2 (3; 2 ) R = = 2 2 = 3 = (3; 2 ) = Используя формулу для объема (подходящую для данного случая), получаем: V = 2 2 πr 2 d = π d = π = π 15 19

20 Область, ограниченная двумя линиями (не криволинейная трапеция), вращается около оси OY. Найти объем тела вращения V OX = π a b R 2 r 2 d Область вращения интервал интегрирования Пример. Область между параболой = и прямой = + 3 вращается вокруг оси. Найти объём образованного тела. = π d = π 1 2 V OX = π a b R 2 r 2 d = d = 117π 5 Тело вращения 2

21 Пример. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: = cos и = 1 вокруг прямой = 1 при π; π. Решение. Поскольку кривая вращается вокруг прямой = 1, то имеет смысл перейти к новой системе координат = ; = + 1. Тогда формула для объема тела вращения принимает вид: V = π π π 2 d = π π π d = = π π π cos d = π π π 3 3π + cos cos d = 2 2 π π = 3π 2 21

22 И н т е р в а л и н т е г р и р о в а н и я R = r = 2 Пример. Область между параболой = 2 и прямой = 2 в первом квадранте вращается вокруг оси. Найти объём образовавшегося тела. Решение. После построения рисунков без комментариев: V = π c d (2; 4) Область, ограниченная двумя линиями (не криволинейная трапеция), вращается около оси OY. Найти объем тела вращения = 2 = 2 V OY = π = 2 = R 2 r 2 d = π c d R 2 r 2 d r = /2 2 d = 8π 3 R = = Тело вращения = 2 22

23 L: = f ; a; b ; OX Формальности с разбиениями A 3 A 4 A 5 A k 1 P A 1 A Площади поверхностей вращения На кривой получаем точки A, A 1,, A n 1, B. Соед. хордами Выбираем k е разбиение A k Q A = A B = A n = a k 1 k b = n a = < 1 < 2 < < n = b Усеченный конус k е разбиение = f, a; b ; непрерывна и дифференцируема l k Замена дуги k е разбиение S k 2π f k 1 S(n) k S k = n k=1 + f k l 2 k, l k 1 + f (c k ) 2 k 2π f k 1 + f k 1 + f 2 2 c k k. Процедура предельного перехода приводит к формуле S OX = a b 2π 1 + () 2 d 23

24 Если вращение производится вокруг оси, то формально, в предыдущей формуле меняются местами: = g() непрерывна и дифференцируема на c; d, тогда площадь поверхности вращения кривой = g() вокруг оси : S OY = c d 2π 1 + d d S = a b 2 d = 2π 1 + d d c d 2πg() 1 + g () 2 d Пример. Найти площадь поверхности образованной вращением кривой = 2, [1; 2] около оси O. Решение. Используем формулу тогда d d = 1, S OX = d 1+ d π 2 d, где a = 1, b = 2, = 2 ; = = 4π = 8π d = 4π 1 = = d = Формулы для других способов задания границ линии вращения (параметрическим или в полярных координатах) получаются подстановкой (как это было проделано при вычислениях объемов тел вращения) и без подробностей их формального вывода представлены ниже в таблице: 24

25 полярный параметричес. явный Разные способы задания линий вращения тип Линия Ось Площадь поверхности = f ; a; b ;, C a,b OX S OX = 2π = g ; c; d ;, C c,d OY S OY = 2π = t, = t ; t t 1, t 2 OX S OX = 2π b a d c t () 2 d () 2 d 2 t 2 t 2 + t 2 dt 3 = t, = t ; t t 1, t 2 OY S OY = 2π t 2 t 2 + t 2 dt 4 t 1 r = r φ ; φ α; β ; r, r C α,β OX S OX = 2π r = r φ ; φ α; β ; r, r C α,β OY S OY = 2π β α β α rsin φ r 2 + r 2 dφ 5 rcosφ r 2 + r 2 dφ 6 25

26 С объем шара и шарового пояса вопрос решили: 1. Вращение участка окружности = R 2 ; ; 1 вокруг оси OX: V ; 1 = 1π R 2 2 d = π R = π 1 R ; V OX = +Rπ R 2 2 d = π R 2 3 R 3 +R = 4πR3 R Вращение четверти окружности V OX = π = 2R 3 t 1 t 2 2 t dt = 2R 3 π/2 π/2 = R cos t ; t ; π/2 вокруг оси OX: = R sin t sin t 2 sin t dt = 2R 3 1 cos 2 t d cos t = 2R 3 cos t cos3 t 3 π/2 π/2 sin t 2 d cos t = = 4πR Вращение четверти окружности r = R; φ ; π/2 вокруг полярной оси OP: V OP = 2π β r 3 (φ) sin φ dφ = 4π π/2 R 3 sin φ dφ = 4πR3 cos φ π /2 3 α 3 3 = 4πR3 3. Теперь в состоянии для площади поверхности 26

27 Площадь поверхности шара и шарового пояса h 1 Для площади поверхности шарового пояса можно использовать любую из приведенных формул (1-6). Пусть это будет вариант 1: 1. Вращение участка окружности = R 2 ; ; 1 вокруг оси OX: S = 1 2π 1 + () 2 d; = R 2 2 ; = R 2 2 ; = R S [ ; 1 ] = 2πR 1d = 2πR 1 = 2πRh; h ширина пояса. В частности, S [ R; +R] = 4πR 2 известный из школы результат. 2. Вращение четверти окружности = R cos t ; t ; π/2 вокруг оси OX: = R sin t формула (3) приводит, разумеется, к тому же результату. 3. Вращение четверти окружности r = R; φ ; π/2 вокруг полярной оси OP: применяется формула (5). Возможность вращения вокруг оси OY 27

28 Эллипсоиды вращения Объём в общем виде вычислен: V = 4 3 πabc. Частные случаи: эллипсоиды вращения - фигуры, получающиеся в результате вращения эллипса с полуосями a; b (например, в виде) 2 = 1 вокруг осей OX или OY. a b2 Так как a b, в первом случае получаем вытянутый, во втором сжатый сфероиды или эллипсоиды вращения. Их объёмы вычислены : t 2 V OX = π 2 t dt = πab 2 sin 2 t sin t dt = t 1 = πab 2 = πab 2 π π π sin 2 t sin t dt = (1 cos 2 t)d(cost) = 4 3 πab2 V 3 1, км³ Большая полуось км Естественно, имея общий результат, приведенные выше вычисления V OX упражнение на подсчет объема тела вращения. Он немедленно вытекает из общей формулы при c = b Но уже следующая характеристика эллипсоида - площадь поверхности для трёхосного эллипсоида - изученными средствами не вычисляется 28

29 V = 4 3 πabc Зато относительно легко могут быть вычислены площади поверхностей сфероидов. Подстановка в формулы и соответствующие преобразования дают: (для сплюснутого, a > b) (для вытянутого, a < b) 29

30 Чуть подробнее, делается это так: b S OX = 2π 1 + () 2 d = 4π b a a 2 ε 2 2 d = = a = 2π b a a a2 ε 2 a 2 + a 2 arsinε = a2 ε 2 a 2 = = a 2 c 2 = b 2 = 2πb b + a ε arsinε ; a S OY = c d 2π 1 + () 2 d = 2π a b = 2πa b 2 + c 2 + a2 2c ln b b b2 + c 2 + c b 2 + c 2 c = 2πa a + b2 2a ε ln ε 1 ε. b 2 + c2 b 2 2 d = = = b2 + c 2 = a c = aε = 3

31 И почти совсем подробно (но для вращения около одной оси - OX): Пример. Найти площадь поверхности эллипсоида вращения, образованного вращением эллипса = a cos t, = b sin t, a > b, вокруг оси абсцисс. (3) 31

32 Мы уже отмечали, что вычисление вручную площадей поверхностей вращения с помощью определенного интеграла дело непростое (почему?). Сфера «влияния» поверхностных интегралов. Иллюстрация («что бы служба раем не казалась» - один прапорщик). Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой = ( 1) 2, 2 около оси O. ( ) 32

35 Некоторые геометрические характеристики гиперболы r 1 r 2 c c F 1 O F 2-2 = a = a ε ε L O A Y D 1 D 2 M(, ) K M(, ) X 2 2 a2 b 2 = 1 = b a 2 a 2 ; M, Γ Представляют интерес площади криволинейных фигур AKM, OAM, OAML. S AKM = = b a = 1 2 z 2 a ab 2 f z dz = b a a z2 a 2 a2 2 ln(z + ln + 2 a 2 a z 2 a 2 dz = z2 a 2 ) a Но 2 a 2 = a b S AKM = 2 ab 2 ln a + b. Отсюда сразу следует S OAM = ab 2 ln a + b ; S OAML = 2 + ab 2 ln a + b.. 35

36 Для вычисления длины участка гиперболы представим её параметрическими уравнениями t = a ch(t), t = b sh(t). Таким образом, длина гиперболы выражается через элементарные функции и эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода. 36

37 Тело вращения с конечным объёмом и бесконечной площадью поверхности Рассмотрим тело, образованное вращением области между графиком функции = 1/ и осью O 1, вокруг оси O. Показать, что оно имеет конечный объем и бесконечную площадь поверхности. Решение. Горн Габриэля; Рог Торричелли V OX = π Potter's Wheel d = π S OX = 2π d = 1 + НИ 1го рода сходится, p = 2, предельный признак сравнения () 1 + [ ()] 2 d = 2π = π расходится по предельному признаку сравнения с 1 = π d d Тело по «протяженности в длину» по оси O бесконечно, его объем конечен, а площадь поверхности бесконечна! «Принимает» ли этот результат Ваша интуиция? Парадокс маляра = 1, 1 37

38 1 R A M O Геометрические характеристики циклоиды 1 - катящийся круг радиуса R с центром в точке A в исходном положении; F N D t G H 2 - катящийся круг в новом положении оборота круга. Рассмотрим катящийся круг в новом положении (2). Точкой касания служит теперь точка N, т.е. по прямой (по оси) точка касания переместилась на расстояние ON. В тоже время точка O переместилась в положение M, пройдя по окружности круга путь NM. Но качение происходит без скольжения эти пути одинаковы: NM = ON. Естественным параметром, определяющим положение, является угол t (в радианах) между радиусами окружностей в исходном и новом положениях: t = NDM. Координаты ; точки M можно выразить как: = OF = ON FN = NM MG = Rt R sin t = R t sin t = FM = NG = ND GD = R R cos t = R(1 cos t) K Выбор системы координат (ось OX по прямой качения окружности в направлении её перемещения; начало координат - в точке касания исходного положения окружности с осью OX; ось OY как показано на рис. Проследим путь любой точки окружности (пусть это будет точка О) за время одного = R t sin t, = R(1 cos t) параметрические уравнения первой арки (t [; 2π]) циклоиды 38

39 1.S 1 = V OX = 5π 2 R 3 α β 4. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси OY арки циклоиды S OY = 2π = 4πR 2 t 1 t 2 2π t t dt = β 2. L 1 = (t) 2 + (t) 2 dt = 2R 1 cos t 2 + sin 2 t dt = 2R sin t dt = 8R. 2 α 3. Найти объем тела, образованного вращением одной арки циклоиды вокруг оси OX. Одна арка циклоиды получается при изменении параметра t от до 2π, от до 2πR. Поэтому, искомый объем V OX равен 2πR 2π V OX = π 2 d = πr 3 1 cos t 3 возводим в куб dt = = 5π и. на сумму 2 R 3 2π S 1 = 3πR 2 t 2 + t 2 dt = 2π t sin t sin t dt = 4πR2 2 2π 2π R 1 cost R 1 cost dt = R 2 2π L 1 = 8R = R t sin t, = R(1 cos t) 2π R t sin t tsin t 2 dt R 2 (1 cos t) 2 +sin 2 t dt 2π S OY = 16π 2 R cos2t 1 2cost + 2 2π dt = 3πR 2 sin tsin t 2 dt = 16π2 R 2 39

40 Геометрические характеристики лемнискаты Бернулли Овал Кассини геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого a. Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном 2a является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами = 2a = ± a a 2 2 a 2 в ДСК; r 2 = 2a 2 cos 2φ в полярных координатах; уравнение лемнискаты в явном виде φ r 1,,97,88,71,42,,42,71,88,97 1,,97,88,71,42. 71 1, S лем = a2 π 4 π 4 cos2φdφ = 4a 2 π 4 cos2φdφ = 2a 2 было вычислено 4

41 2. Длина дуги лемнискаты от вершины (φ = ) до любой точки с полярным углом φ < π/4 (лежащей на первой «четвертинке»): φ L ; φ = r(φ) 2 + r (φ) 2 dω dφ = a 2 cos2ω = a 2 dω 1 2sin 2 ω 2φ = подстановка 2sin 2 ω = sin 2 dt t = a 1 (1 2)sin 2 t = af 1 2, 2φ. Для четверти лемнискаты (и для полной линии) отсюда (как ранее было показано) : L ; φ/4 = a F k, φ = φ π/2 dt 1 ( 1 2) sin 2 t = ak 1 2 ; L = 4aK 1 2 dθ 1 k 2 sin 2 θ эллиптический интеграл I го рода ; K k F k, π 2 Табулированы, в частности, K 1 φ 2 = 1, 8547 φ 7, 416a. полный эллиптич. интеграл I го рода 41

42 3. Площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты 9 6 Бернулли r 2 = 2a 2 cos 2φ вокруг полярной оси π/4 3 S OX = β α 2πr sin φ r 2 + r 2 dφ = π/ π = 8πa 2 π 4 2 a cos2φsin φ 2a 2 cos2φ + 2a 2 sin2 2φ cos2φ dφ = π 4sin φdφ = 8πa 2 cosφ π 4 = 8πa Площадь поверхности, образованной вращением правой петли лемнискаты Бернулли r 2 = 2a 2 cos 2φ вокруг оси OY S OY = β α 2πr cos φ = 4πa 2 4πa 2 sin φ π 4 π/4 π/4 r 2 + r 2 dφ = cos φdφ = π/4 = 4 2πa2 42

43 5. Объем тела, образованного вращением вокруг полярной оси лемнискаты Бернулли r 2 = 2a 2 cos 2φ В силу симметрии графика лемнискаты, половина искомого объема равна (формула (5) из сводки результатов по объемам тел вращения): V OP;φ= = 4π π/4a 3 cos 2φ 3/2 sin φ dφ 3 = подстановка: cos φ = = 4π 3 a3 π/4 = 4π 3 2 a3 π/2 cos 4 tdt sin 2 t = 4π 3 a3 π/4 1 cos tdt ; sin φ dφ = 2 sin t 2 sin 2 t = 4π 3 a3 ctgt 2t π/2 π/4 1 sin 2 t 2 + sin2 t dt = t sin 2t 2 π/2 π/4 2 cos 2 φ 1 3/2 sin φ dφ = = 2 6 πa3 ; φ = t = π/4 φ = π/4 t = π/2 5 3π 2 43

44 Геометрические характеристики цепной линии = a ch a z P S 1. = a ch a ; = ch a ; L [;] = ch t a dt = a sh a = L() за начало отсчёта принята вершина P кривой, абсцисса точки на линии, до которой находится расстояние. 2. Для площади S [;] фигуры, ограниченной цепной линией, осью OX и прямыми X =, X = имеем S [;] = ach t a dt = a2 sh = al = S() a 3. Объем тела вращения. Если дугу цепной линии вращать вокруг оси OX, то образуется поверхность вращения, называемая катеноидом; его объем: V OX;[;] = π 2 d = πa2 + a sh 2 a ch a 4. Площадь поверхности вращения: Q OX;[;] = 2π d = πa + a sh a ch a Объём тела, ограниченного катеноидом между плоскостями YoZ и плоскостью YZ, параллельной ей и отстоящей от неё на, и площадь Q поверхности этой же части катеноида связаны формулой: V = aq/2 Катеноид имеет минимальную площадь среди всех поверхностей вращения дуг линий, соединяющих две заданные точки плоскости. 44

45 Тор и его некоторые геометрические характеристики Тор - поверхность вращения образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через её центр. Ось вращения может пересекать окружность, касаться ее и располагаться вне окружности. 1. Объём тора, образованного вращением круга радиуса R с центром, удалённым от оси вращения на r, где R < r. Решение. r R R r Система координат - на рис. r = R 2 вращающаяся окружность; симметрия (только верх) = R 2 r 2 [r R; r + R] V OY = 2 2π = 4πR 2 π/2 r+r r R π/2 d = 4π (r + R sin t) r+r r R R 2 r 2 d = 1 sin 2 t cos tdt = 4πR 2 подстановка: = r + R sin t, d = R cos tdt; = r R t = π 2 ; = r + R t = π 2 ; π/2 π/2 (r + R sin t) cos 2 tdt = 4πR 2 r π/2 π/2 cos 2 tdt + 4πR 3 π/2 π/2 sin t cos 2 tdt = 2π 2 R 2 r = πr 2 2πr = нечетная функция интерпретация 45

46 R Y Y S OY = 2π = 2π c d r r 1 r 1 R 1 X R 1 2. В данном случае можно (и это проще) использовать другой известный прием: пусть тор задан как и ранее; не будем привязываться к тому, что эта фигура вращения, а заметим, что площади поперечных сечений плоскостями, перпендикулярными оси OY, легко находятся (площади кольца) находится и объем. Радиусы кольца V = π X = 2π R 1 = r + R 2 2 ; r 1 = r R 2 2 c d R R 2 r 2 R4r R 2 2 d = 8πr 2 R2 2 + R2 = 2π 2 R 2 r = πr 2 2πr d = 2π 2 arcsin R R R 1 2 r 1 2 r + R r R d = 3. Площадь поверхности тора (из предыдущей задачи), образованного вращением круга радиуса R с центром, удалённым от оси вращения на r, где R < r. R 1 + () 2 d = 4π r + R R 2 2 d = 4π2 Rr = = (2πR)(2πr) интерпретация R = d 46

47 Закрытый тор Пример. Найти площадь заметаемой поверхности при вращении окружности около оси OX (частный случай тора, когда окружность касается оси вращения закрытый тор). Решение. Параметрические уравнения окружности единичного радиуса с центром в точке (; 1) плоскости XOY имеют вид: t = cos t, 2 2π t t dt = = 1 + sin t t [; 2π]. Для > S = t 1 = 2π 2π 1 + sin t sin t 2 + cos t 2 dt = 2π = 2π t cos t 2π = 4π 2 2π 1 + sin t dt = 47

48 Из источника находим, что кардиоида геометрическое место точек, описываемых фиксированной точкой окружности, катящейся (вне) по другой окружности того же радиуса. Уравнение в декартовой системе координат: a 2 = a Переход к полярной системе координат [ = r cos φ; = r sin φ] приводит к уравнению r= a 1 + cos φ. График. 12 Геометрические характеристики кардиоиды φ r 2,1,98 1,94 1,87 1,77 1,64 1,5 1,34 1,17 1,,83,66,5,36,23,13,6,2,, L = = 2a π α β 27 2a r(φ) 2 + r (φ) 2 dφ = 2 1. S = πr 2 φ dφ = = a cosφ + cos 2 φ +sin 2 φdφ = 2 2a π cos φ + cos 2 φ dφ = π a cos φ 2 + a 2 sin 2 φ dφ = π 1 + cosφdφ = 4a π cos φ 2 Симметрия π a cos φ 2 dφ 3πa 2 = 2 dφ = 8a нет π 48

49 3. Объем тела, полученного при вращении области, ограниченной кардиоидой r = a 1 + cos φ, a > ; φ [; 2π] вокруг полярной оси. В силу симметрии относительно полярной оси интегрировать будем в пределах от до π: V OP;φ= = 2π β r 3 (φ) sin φ dφ = 2πa3 π 1 + cos φ ) 3 sin φ dφ = 3 α 3 = 2πa3 3 π 1 + cos φ ) 3 d cos φ = πa cos φ )4 π = 8 3 πa3 4. Площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды r = a 1 + cos φ, a > ; φ [; 2π] вокруг полярной оси. (Поверхность вращения напоминает яблоко). В силу симметрии относительно полярной оси интегрировать будем в пределах от до π, примем a = 1: = 32π 5 = 16π cos 5 φ 2 S OX = 2π = 2π π π α β r sin φ r 2 + r 2 dφ = (1 + cos φ) sin φ 2 cos 2 φ 2 dφ = cos φ 4 2 sin φ 2 dφ = 2 16π cos φ 4 2 d cos φ 2 = π = 32π 5 ; С учетом a S OX = 32πa2 5 π 49

50 Задача. Одинаковые цилиндры радиуса R пересекаются под прямым углом. Найти объём и площадь поверхности тела, общего двум цилиндрам. Решение. R 2 2 Для одинаковых цилиндров всё просто (в сечении квадрат со стороной R 2 2 ) V = 8 R R 2 2 d = 16 3 R3 ; S = 16 R 2. Ответы без π! Разные радиусы приводят к эллиптическим интегралам. z 5

51 1. Найдите площадь криволинейного треугольника, образованного одной волной синусоиды ( π) и двумя касательными к ней, проведенными в начальной и конечной точках. 2. Что Вы знаете о торе, какие его элементы умеете вычислять и каким образом? 1. Как Архимед вычислил объём шара? 2. Торричелли и парадокс маляра. Вопросы для самопроверки Вопросы из списка экзаменационных вопросов + 51

53 Овал Кассини Джованни Кассини ( ) итальянский и французский астроном и инженер Овал Кассини геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого a. Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном 2a является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами. Кривая была придумана астрономом Джованни Кассини. Ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс. Овал Кассини - имеет два абсолютных максимума и два минимума Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов окружность с центром в середине отрезка между фокусами. Кривая имеет четыре точки перегиба. Геометрическое место точек перегиба - лемниската Чёрная окружность множество максимумов и минимумов; синяя лемниската множество точек перегиба