ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ В НЕУПРУГОЙ НИТИ

В работе показывается, что в основе поперечных волн лежит явление качения, когда линейное смещение и поворот неотделимы.

Возьмем гибкую нерастяжимую нить, при помощи которой во всех курсах физики начинается знакомство с волновыми явлениями, но вместо традиционного «малого» возмущения, рассмотрим возмущение в виде плоской кольцеобразной петли, катящейся вдоль нити. Пусть Т – натяжение нити, μ- линейная плотность, гравитация отсутствует. Толщина нити только для понятности рисунка.

Рис 1. Катящееся кольцо из гибкой нерастяжимой нити.

Такое возмущение может существовать лишь при скорости петли относительно нити V=, когда натяжение нити в любой точке петли становится равным натяжению вне петли.

Самый простой и эффективный способ исследования возмущений в гибкой нити заключается в обращении движения. Достаточно рассмотреть вращающийся шкив, который охватывает при своем движении гибкая нерастяжимая нить, и найти ту скорость, при которой нить перестает взаимодействовать с опорой. Интересно, что скорость V не зависит ни от радиуса шкива, ни от угла охвата, что позволяет предположить о возможности построения произвольного плоского контура (даже замкнутого и вечного») из нити, движущейся со скоростью V. Это явление известно под названием эффекта Эткина-Радингера [1].

К сожалению, в большинстве учебников к распространению поперечных возмущений в нерастяжимой бесконечной нити подходят, как к распространению поперечных колебаний, порождаемых силами упругости. Такой подход не может считаться корректным. В отрезке нити, зажатом с концов, можно говорить о колебаниях и силах упругости, стремящихся вернуть струну в начальное состояние. Но неправильно говорить о «поперечных волнах упругости» в бесконечной нити, в бесконечной нерастяжимой нити нет поперечных сил упругости. Пример с катящимся кольцом говорит, что в волне должны присутствовать два вида энергии – вращательная и энергия поступательного движения, подобно электрической и магнитной составляющим в электромагнитном возмущении. Для каждого вида энергии действуют свои законы сохранения. Периодической перекачки энергии из одного вида в другой, как при колебаниях, не происходит.

Перемещение поперечных возмущений вдоль нерастяжимой нити – типичная волна. Скорость V= – это скорость поперечных волн в нити.

Движение волновое, если оно описывается функцией вида U=U(x±ct), которая всегда удовлетворяет волновому уравнению ²U/x²=(1/c²)·²U/t² .

На рис.2 показан участок нити, движущейся со скоростью V вправо вдоль оси x.

Рис.2 Изменение направления движения нити на угол

В начале координат нить за время Δt изменяет направление движения на угол φ и приобретает составляющую скорости ΔV в направлении оси U. Считая угол малым, и учитывая, что V= dx/dt=const , можно записать очевидные соотношения:

U/x = – угол поворота

²U/x²=/=/·(dt/dx) = – нормированная угловая скорость

U / = U/x· (dx/dt) = V – поперечная скорость

²U/t²=ωV – поперечное ускорение

²U/x² = (1/V²)·²U/t² – волновое уравнение

Волновое уравнение в данном случае имеет простой смысл: поперечное ускорение элемента нити пропорционально угловой скорости этого элемента. Коэффициент пропорциональности равен продольной скорости нити.

Масса участка нити, изменившей свое направление за время Δt , равна

Приравнивая произведение массы μV на ускорение ωV к величине вертикальной составляющей силы Т , можно получить уравнение для определения скорости V, при которой нить не должна взаимодействовать с опорой.

Поскольку нить не взаимодействует с опорой, то остается допустить, что изменение направления движения происходит за счет внутренней, уже имеющейся в нити энергии вращения. Эта энергия легко вычисляется, если учесть, что энергия вращения полного кольца при скорости качения V равна πRT. Участок кольца с углом поворота обладает запасом энергии вращения RT = Δs·T , где Δs длина участка нити, обладающего энергией вращения. Этот же участок имеет импульс вдоль оси U , равный p = T Δt = Δs и момент импульса L=TR Δt = Δs . Причем этот участок с «вращением» смещается относительно нити влево (на рис.2) со скоростью V=.

В результате можно утверждать, что распространение возмущений в нити связано с распространением «вращательного» возмущения. То есть вдоль нити смещается момент количества движения и обязательно сопутствующее ему количество поперечного движения. Наиболее близко к описанию данного процесса подходит термин качение, который свидетельствует о неотделимости смещения от поворота. Нельзя сместить нить поперек, не придав ей угла поворота, и нельзя повернуть нить без поперечного смещения. Это чисто кинематическая связь, подобная связи вращения катящегося обруча с его поступательным движением V=ωR . Волновое уравнение – кинематическое уравнение.

Поэтому правильнее говорить о волнах качения или о катящихся волнах в нити.

На рис.3 нарисована треугольная волна, двигающаяся справа налево

Рис.3 Треугольная волна

Для простоты все углы имеют одинаковый радиус R. Нижний левый угол соответствует схеме на рис.2. Под волной изображены диаграммы вертикальной составляющей скорости и угловой скорости. Понятно, что треугольная волна образуется тремя «катящимися» вдоль нити «вращательными» возмущениями, каждое со своей энергией.

И самое интересное. Из рис.1 можно сделать замечательный вывод. Если очень ловко и быстро разрезать петлю в точке А и склеить отдельно детали кольца и покоящейся нити, то кольцо будет катиться вдоль нити вплоть до точки В, где пути кольца и нити разойдутся. Произойдет «излучение». Другими словами, замкнутая кольцевая петля, катящаяся со скоростью V, может существовать независимо от породившей ее нити.

1. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. – Москва: Наука, 1980
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики в 5т. Т.1 Механика. Изд. МФТИ. 2004