Явная схема решения третьей смешанной задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Хайрисламов Михаил Зинатуллаевич, Геренштейн Аркадий Васильевич

Предлагается численный метод решения третьей смешанной задачи для одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности параболического типа, основанный на использовании явной разностной схемы . Зависимость коэффициентов уравнения от температуры преодолевается введением новой искомой функции первообразной теплопроводности . Предлагается тестовая задача с известным точным решением для численных расчетов.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Хайрисламов Михаил Зинатуллаевич, Геренштейн Аркадий Васильевич

Explicit scheme for the solution of third boundary value problem for quasi-linear heat equation

In produced paper numerical method for the solution of third boundary value problem for one-dimensional quasi-linear heat equation grounded on the use of explicit finite-difference scheme is offered. The coefficients’ dependence on temperature is overcome by introducing the new unknown function a primitive integral of conduction. Test problem with known exact solution for numerical calculations is proposed.

Текст научной работы на тему «Явная схема решения третьей смешанной задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности»

ЯВНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

М.З. Хайрисламов\ А.В. Геренштейн*

Предлагается численный метод решения третьей смешанной задачи для одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности параболического типа, основанный на использовании явной разностной схемы. Зависимость коэффициентов уравнения от температуры преодолевается введением новой искомой функции - первообразной теплопроводности. Предлагается тестовая задача с известным точным решением для численных расчетов.

Ключевые слова: теплопроводность, квазилинейное уравнение теплопроводности, явные разностные схемы, аппроксимация.

В настоящей работе используются идеи, изложенные в работах [1, 2], в которых была предложена и обоснована явная устойчивая схема для линейного уравнения теплопроводности.

1. Численный метод

Рассмотрим следующую постановку третьей смешанной задачи для одномерного однородного квазилинейного уравнения [3]:

dt Эх ^ Эх и (х, 0) = р(х),

= Л1 (и(0, t)) ( - и (0, t)) + Qt

= ЛГ (и(L, t)) ( - и(L, t)) + Qr,

где и = и(х, ^) - температура стержня; 0 < х < Ь - координата; 0 < ^ < Т - время; Ь - длина стержня; Т - конечный момент времени; с(и) - объемная теплоемкость материала стержня; д(и) - теплопроводность материала стержня; р(х) - функция начального распределения температуры стержня; Л1 (и) - коэффициент теплоотдачи на левом конце стержня; Хг (и) - коэффициент теплоотдачи на правом конце стержня; 01 - температура внешней среды на левом конце стержня; вг - температура внешней среды на правом конце стержня; Ql = Ql (^) - мощность потока тепла на левом конце стержня; Qr = Qr (^) - мощность потока тепла на правом конце стержня. Функции с = с(и), д = д(и), ^ ^ (и) и Лг = Лг (и) предполагаются непрерывными функция-

ми температуры, заданными для всех значений температуры.

Замена искомой функции

Поскольку в уравнении присутствует член д(и) —, то удобно сделать замену

G(u) = |q(^)d^. Тогда для функции G получим уравнение —G = а2 (и)-j-, где а(и) =

1 Хайрисламов Михаил Зинатуллаевич - аспирант, кафедра прикладной математики, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: zinatmk@gmail.com

2 Геренштейн Аркадий Васильевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики, ЮжноУральский государственный университет.

коэффициент температуропроводности. Функция G(u) является строго монотонной функцией

температуры, поэтому обратная функция О_1 существует и может быть вычислена в конкретной точке, например, методом дихотомии.

Шаблон схемы. Расчетные формулы

На плоскости (х, ^) используется равномерная сетка [2]

ЩТ=Щ хщ, щ = |х, = ^г - 2^И, г = 1, 2. щ = ]т, ] = 0,1. >,

где И = Ь/Ы - шаг по переменной х, т - шаг по переменной ^. Шаблон предлагаемой схемы представлен на рис. 1. Для обозначения значений сеточной аппроксимации функции О на следующем временном слое используется верхний индекс (+1), на следующем полуцелом времен-

( 1 ^ ( 1 ном слое - I +— |, а на предыдущем полуцелом временном слое - I —

Используемая расчетная формула имеет вид

Для расчета значений функции О на временном слое ґ = т, а также для вычисления значений функции в полуцелых слоях по времени используются формулы:

Для выполнения краевых условий введены фиктивные узлы с номерами 0 и N +1 (см. рис. 1): сначала рассчитываются значения искомой функции во внутренних точках, после чего, исходя из краевых условий, задаются ее значения в фиктивных узлах.

Используя следующие аппроксимации второго порядка точности

Л (и (0, 0) = , д(и (0, ,)) = 3д1- , ММ = , и(0,,) = и0 + и1

нетрудно получить формулу определения температуры в фиктивном узле 0:

З^-д, _ 3(Л )1-(Л )2 ^ )! _ л т + 2Ql

Аналогичные рассуждения для правого конца приводят к расчетной формуле для узла N +1

3^ - qN-1 3(Лг )N - (А )N-1

3% #N-1 + 3(Лг )N (Л )N-1

2. Тестовая задача

С учетом конечности скорости распространения тепла в [4] были получены приближенные решения одномерной задачи нелинейной теплопроводности на полубесконечной прямой при заданном потоке в начале координат в виде степенной зависимости. В данной работе с использованием идей, изложенных в [4, 5], получено аналитическое решение следующей третьей смешанной задачи на полубесконечной прямой для одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности:

— = — I и — I, I > 0, х > 0, (6)

и (х, 0) = 0, х > 0, (7)

где п > 0 - показатель степени, характеризующий лучистую теплопроводность, Л > 0 - коэффициент теплоотдачи, 2 > 0 - коэффициент, характеризующий мощность теплового потока в начале координат.

В частности, при п = 2 точное решение задачи (6)-(8) будет таким:

3. Результаты численных расчетов

Решалась задача (6)-(8) при п = 2 , Л = 1 Дж/(м2 х с* °С), Q = 5 Дж/(м2 х с) . Шаг по координате к брался равным 1, шаг по времени т брался равным 0,05. Сравнение численного и точного решений в моменты времени ^ = 10, 20, 30 с приведено на рис. 2. Сплошная кривая представляет точное решение.

Рис. 2. Численное и точное решения задачи в разные моменты времени

Полученные результаты позволяют говорить о хороших свойствах предложенного численного метода.

1. Геренштейн, А.В. Нагревание круга движущимся теплоисточником / А.В. Геренштейн,

Н. Машрабов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15, № 5. -С.870-871.

2. Геренштейн, А.В. Устойчивые явные схемы для уравнения теплопроводности /А.В. Геренштейн, Е.А. Геренштейн, Н. Машрабов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2008. - Вып. 1. - № 15(115). - С. 9-11.

3. Самарский, А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский. - М.: Наука, 1989. - 616 с.

4. Кудряшов, Н.А. Приближенные решения одномерных задач нелинейной теплопроводности при заданном потоке / Н.А. Кудряшов, М.А. Чмыхов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2007. - Т. 47, № 1. - С. 110-120.

5. Зельдович, Я.Б. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры / Я.Б. Зельдович, А.С. Компанеец // К 70-летию А.Ф. Иоффе: сб. науч. тр. - М.: Изд-во АН СССР, 1950. - С. 61-71.

EXPLICIT SCHEME FOR THE SOLUTION OF THIRD BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR QUASI-LINEAR HEAT EQUATION

12 M.Z. Khayrislamov , A.W. Herreinstein

In produced paper numerical method for the solution of third boundary value problem for onedimensional quasi-linear heat equation grounded on the use of explicit finite-difference scheme is offered. The coefficients’ dependence on temperature is overcome by introducing the new unknown function - a primitive integral of conduction. Test problem with known exact solution for numerical calculations is proposed.

Keywords: thermal conductivity, quasi-linear heat equation, explicit finite-difference schemes, approximation.

1. Gerenshteyn A.V., Mashrabov N. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki. 2008. Vol. і5, no. 5. pp. 870-87і.

2. Herreinstein A.W., Herreinstein E.A., Mashrabov N. Ustoychivye yavnye skhemy dlya urav-neniya teploprovodnosti (Steady Obvious Schemes for Equation of Heat Conductivity). Vestnik YuUrGU. Seriya «Matematicheskoe modelirovanie i programmirovanie». 2008. Issue і. no. і5(іі5). pp. 9-іі. (in Russ.).

3. Samarskiy A.A. Teoriya raznostnykh skhem (The theory of difference schemes). Moscow: Nauka, і989. біб p. (in Russ.).

4. Kudryashov N.A., Chmykhov M.A. Approximate solutions to one-dimensional nonlinear heat conduction problems with a given flux. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2007. Vol. 47, no. і. pp. і07-іі7

5. Zel'dovich Ya.B., Kompaneets A.S. K 7G-letiyu A.F. Ioffe: sb. nauch. tr. (On the 70th anniversary of the A.F. Ioffe: collection of scientific papers). Moscow: Izd-vo AN SSSR, і950. pp. бі-7і. (in Russ).

Поступила в редакцию б марта 2013 г.

1 Khayrislamov Mikhail Zinatullaevich is Post-Graduate student, Applied Mathematics Department, South Ural State University.

2 Herreinstein Arcady Wasilevich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Applied Mathematics Department, South Ural State University.