Тригонометрия - подготовка к ЕГЭ

Тригонометрия - подготовка к ЕГЭ

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим прямоугольную систему координат и в ней окружность с единичным радиусом и центром в начале координат.

Угол в \(1^\circ\) — это такой центральный угол, который опирается на дугу, длина которой равна \(\dfrac1\) длины всей окружности.

\(\blacktriangleright\) Будем рассматривать на окружности такие углы, у которых вершина находится в центре окружности, а одна сторона всегда совпадает с положительным направлением оси \(Ox\) (на рисунке выделено красным).На рисунке таким образом отмечены углы \(45^\circ,\ 180^\circ,\ 240^\circ\) :

Заметим, что угол \(0^\circ\) — это угол, обе стороны которого совпадают с положительным направлением оси \(Ox\) .

Точку, в которой вторая сторона такого угла \(\alpha\) пересекает окружность, будет называть \(P_\) .Положение точки \(P_\) будем называть начальным положением.

Таким образом, можно сказать, что мы совершаем поворот по окружности из начального положения \(P_0\) до положения \(P_\) на угол \(\alpha\) .

\(\blacktriangleright\) Поворот по окружности против часовой стрелки — это поворот на положительный угол. Поворот по часовой стрелке — это поворот на отрицательный угол.

Например, на рисунке отмечены углы \(-45^\circ, -90^\circ, -160^\circ\) :

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим точку \(P_\) на окружности. Для того, чтобы совершить поворот по окружности из начального положения до точки \(P_\) , необходимо совершить поворот на угол \(30^\circ\) (оранжевый). Если мы совершим полный оборот (то есть на \(360^\circ\) ) и еще поворот на \(30^\circ\) , то мы снова попадем в эту точку, хотя уже был совершен поворот на угол \(390^\circ=360^\circ+30^\circ\) (голубой). Также попасть в эту точку мы можем, совершив поворот на \(-330^\circ\) (зеленый), на \(750^\circ=360^\circ+360^\circ+30^\circ\) и т.д.

Таким образом, каждой точке на окружности соответствует бесконечное множество углов, причем отличаются эти углы друг от друга на целое число полных оборотов ( \(n\cdot360^\circ, n\in\mathbb\) ).Например, угол \(30^\circ\) на \(360^\circ\) больше, чем угол \(-330^\circ\) , и на \(2\cdot 360^\circ\) меньше, чем угол \(750^\circ\) .

Все углы, находящиеся в точке \(P_\) можно записать в виде: \(\alpha=30^\circ+n\cdot 360^\circ, \ n\in\mathbb\) .

\(\blacktriangleright\) Угол в \(1\) радиан — это такой центральный угол, который опирается на дугу, длина которой равна радиусу окружности:

Т.к. длина всей окружности радиусом \(R\) равна \(2\pi R\) , а в градусной мере — \(360^\circ\) , то имеем \(360^\circ=2\pi \cdot 1\textbf< рад>\) , откуда \[180^\circ=\pi \textbf< рад>\] Это основная формула, с помощью которой можно переводить градусы в радианы и наоборот.

Пример 1. Найти радианную меру угла \(60^\circ\) .

Т.к. \(180^\circ = \pi \Rightarrow 1^\circ = \dfrac \Rightarrow 60^\circ=\dfrac3\)

Пример 2. Найти градусную меру угла \(\dfrac34 \pi\) .

Т.к. \(\pi=180^\circ \Rightarrow \dfrac34 \pi=\dfrac34 \cdot 180^\circ=135^\circ\) .

Обычно пишут, например, не \(\dfrac4 \text< рад>\) , а просто \(\dfrac4\) (т.е. единицу измерения “рад” опускают). Обратим внимание, что обозначение градуса при записи угла не опускают. Таким образом, под записью “угол равен \(1\) ” понимают, что “угол равен \(1\) радиану”, а не “угол равен \(1\) градусу”.

Т.к. \(\pi \thickapprox 3,14 \Rightarrow 180^\circ \thickapprox 3,14 \textbf < рад>\Rightarrow 1 \textbf < рад>\thickapprox 57^\circ\) .Такую приблизительную подстановку делать в задачах нельзя, но знание того, чему приближенно равен \(1\) радиан в градусах часто помогает при решении некоторых задач. Например, таким образом проще найти на окружности угол в \(5\) радиан: он примерно равен \(285^\circ\) .

\(\blacktriangleright\) Из курса планиметрии (геометрии на плоскости) мы знаем, что для углов \(0<\alpha< 90^\circ\) определены синус, косинус, тангенс и котангенс следующим образом:если дан прямоугольный треугольник со сторонами \(a, b, c\) и углом \(\alpha\) , то:

Т.к. на единичной окружности определены любые углы \(\alpha\in(-\infty;+\infty)\) , то нужно определить синус, косинус, тангенс и котангенс для любого угла.Рассмотрим единичную окружность и на ней угол \(\alpha\) и соответствующую ему точку \(P_\) :

Опустим перпендикуляр \(P_K\) из точки \(P_\) на ось \(Ox\) . Мы получим прямоугольный треугольник \(\triangle OP_K\) , из которого имеем: \[\sin\alpha=\dfrac \qquad \cos \alpha=\dfrac\] Заметим, что отрезок \(OK\) есть не что иное, как абсцисса \(x_\) точки \(P_\) , а отрезок \(P_K\) — ордината \(y_\) . Заметим также, что т.к. мы брали единичную окружность, то \(P_O=1\) — ее радиус.Таким образом, \[\sin\alpha=y_, \qquad \cos \alpha=x_\]

Таким образом, если точка \(P_\) имела координаты \((x_\,;y_)\) , то через соответствующий ей угол ее координаты можно переписать как \((\cos\alpha\,;\sin\alpha)\) .

Определение: 1. Синусом угла \(\alpha\) называется ордината точки \(P_\) , соответствующей этому углу, на единичной окружности.

2. Косинусом угла \(\alpha\) называется абсцисса точки \(P_\) , соответствующей этому углу, на единичной окружности.

Поэтому ось \(Oy\) называют осью синусов, ось \(Ox\) — осью косинусов.

\(\blacktriangleright\) Окружность можно разбить на \(4\) четверти, как показано на рисунке.

Т.к. в \(I\) четверти и абсциссы, и ординаты всех точек положительны, то косинусы и синусы всех углов из этой четверти также положительны.Т.к. во \(II\) четверти ординаты всех точек положительны, а абсциссы — отрицательны, то косинусы всех углов из этой четверти — отрицательны, синусы — положительны.Аналогично можно определить знак синуса и косинуса для оставшихся четвертей.

Пример 3. Так как, например, точки \(P_\) и \(P_\) совпадают, то их координаты равны, т.е. \(\sin\dfrac6=\sin \left(-\dfrac6\right),\ \cos \dfrac6=\cos \left(-\dfrac6\right)\) .

Пример 4. Рассмотрим точки \(P_\) и \(P_\) . Пусть для удобства \(0<\alpha<\dfrac2\) .

Проведем перпендикуляры на ось \(Ox\) : \(OK\) и \(OK_1\) . Треугольники \(OKP_\) и \(OK_1P_\) равны по гипотенузе и углу ( \(\angle P_OK=\angle P_OK_1=\alpha\) ). Следовательно, \(OK=OK_1, KP_=K_1P_\) . Т.к. координаты точки \(P_=(OK;KP_)=(\cos\alpha\,;\sin\alpha)\) , а точки \(P_=(-OK_1;K_1P_)=(\cos(\pi-\alpha)\,;\sin(\pi-\alpha))\) , следовательно, \[\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, \qquad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\]

Таким образом доказываются и другие формулы, называемые формулами приведения: \[\]

С помощью этих формул можно найти синус или косинус любого угла, сведя это значение к синусу или косинусу угла из \(I\) четверти.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов из первой четверти: \[\]

Заметим, что данные значения были выведены в разделе “Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II” в теме “Начальные сведения о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе”.

Пример 5. Найдите \(\sin\) .

\(\blacktriangleright\) Для упрощения запоминания и использования формул приведения можно следовать следующему правилу.

Случай 1. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi\pm \alpha\) , где \(n\in\mathbb\) , то \[\sin(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак синуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) . \[\cos(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак косинуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) .

Знак угла можно найти, определив, в какой четверти он находится. Пользуясь таким правилом, предполагаем, что угол \(\alpha\) находится в \(I\) четверти.

Случай 2. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi+\dfrac2\pm\alpha\) , где \(n\in\mathbb\) , то \[\sin(n\cdot \pi+\dfrac2\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак синуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) . \[\cos(n\cdot \pi+\dfrac2\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак косинуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) .

Знак определяется таким же образом, как и в случае \(1\) .

Заметим, что в первом случае функция остается неизменной, а во втором случае — меняется (говорят, что функция меняется на кофункцию).

Пример 6. Найти \(\sin \dfrac\) .

Преобразуем угол: \(\dfrac=\dfrac=4\pi+\dfrac3\) , следовательно, \(\sin \dfrac=\sin \left(4\pi+\dfrac3\right)=\sin\dfrac3=\dfrac2\)

Пример 7. Найти \(\cos \dfrac\) .

Преобразуем угол: \(\dfrac=\dfrac=3\pi-\dfrac6\) , следовательно, \(\cos \dfrac=\cos \left(3\pi-\dfrac6\right)=-\cos\dfrac6=-\dfrac2\)

\(\blacktriangleright\) Область значений синуса и косинуса.Т.к. координаты \(x_\) и \(y_\) любой точки \(P_\) на единичной окружности находятся в пределах от \(-1\) до \(1\) , а \(\cos\alpha\) и \(\sin\alpha\) — абсцисса и ордината соответственно этой точки, то \[\]

\(\blacktriangleright\) Тангенс и котангенс.

1) \(\)

2) тангенс и котангенс положительны в \(I\) и \(III\) четвертях и отрицательны в \(II\) и \(IV\) четвертях.

3) область значений тангенса и котангенса — все вещественные числа, т.е. \(\mathrm\,\alpha\in\mathbb, \ \mathrm\,\alpha\in\mathbb\)

4) для тангенса и котангенса также определены формулы приведения.

Случай 1. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi\pm \alpha\) , где \(n\in\mathbb\) , то \[\mathrm\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm\,\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак тангенса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) ( \(\cos\alpha\ne 0\) ). \[\mathrm\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm\,\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак котангенса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) ( \(\sin\alpha\ne 0\) ).

Случай 2. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi+\dfrac2\pm\alpha\) , где \(n\in\mathbb\) , то \[\mathrm\,(n\cdot \pi+\dfrac2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm\,\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак тангенса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) ( \(\sin\alpha\ne 0\) ). \[\mathrm\,(n\cdot \pi+\dfrac2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm\,\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак котангенса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\) ( \(\cos\alpha\ne 0\) ).

5) ось тангенсов проходит через точку \((1;0)\) параллельно оси синусов, причем положительное направление оси тангенсов совпадает с положительным направлением оси синусов;ось котангенсов — через точку \((0;1)\) параллельно оси косинусов, причем положительное направление оси котангенсов совпадает с положительным направлением оси косинусов.

Доказательство этого факта приведем на примере оси тангенсов.

\(\triangle OP_K \sim \triangle AOB \Rightarrow \dfrac=\dfrac \Rightarrow \dfrac=\dfrac1 \Rightarrow BA=\mathrm\,\alpha\) .

Таким образом, если точку \(P_\) соединить прямой с центром окружности, то эта прямая пересечет линию тангенсов в точке, значение которой равно \(\mathrm\,\alpha\) .

6) из основного тригонометрического тождества вытекают следующие формулы: \[1+\mathrm\,^2\alpha=\dfrac1,\cos\alpha\ne 0 \qquad \qquad 1+\mathrm\,^2\alpha=\dfrac1, \sin\alpha\ne 0\] Первую формулу получают делением правой и левой частей ОТТ на \(\cos^2\alpha\) , вторую — делением на \(\sin^2\alpha\) .

Обращаем внимание, что тангенс не определен в углах, где косинус равен нулю (это \(\alpha=\dfrac2+\pi n, n\in\mathbb\) );котангенс не определен в углах, где синус равен нулю (это \(\alpha=\pi+\pi n, n\in\mathbb\) ).

\(\blacktriangleright\) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса, котангенса.

Напомним, что функция \(f(x)\) называется четной, если \(f(-x)=f(x)\) .

Функция называется нечетной, если \(f(-x)=-f(x)\) .

По окружности видно, что косинус угла \(\alpha\) равен косинусу угла \(-\alpha\) при любых значениях \(\alpha\) :

Таким образом, косинус — четная функция, значит, верна формула \[\]

По окружности видно, что синус угла \(\alpha\) противоположен синусу угла \(-\alpha\) при любых значениях \(\alpha\) :

Таким образом, синус — нечетная функция, значит, верна формула \[\]

Как показывает практика, один из сложнейших разделов математики, который встречается школьникам в ЕГЭ, — тригонометрия. С наукой о соотношениях сторон в треугольниках начинают знакомиться в 8 классе. Уравнения данного типа содержат переменную под знаком тригонометрических функций. Несмотря на то, что простейшие из них: \(sin x = a\) , \(cos x = a\) , \(tg x = a\) , \(ctg x = a\) — знакомы практически каждому школьнику, их выполнение зачастую вызывает сложности.

В ЕГЭ по математике профильного уровня правильно решенное задание по тригонометрии оценивается очень высоко. Школьник может получить до 4 первичных баллов за верно выполненную задачу из данного раздела. Для этого искать к ЕГЭ шпаргалки по тригонометрии практически бессмысленно. Наиболее разумное решение — хорошо подготовиться к экзамену.

Как это сделать?

Для того чтобы тригонометрия в ЕГЭ по математике вас не пугала, воспользуйтесь при подготовке нашим порталом. Это удобно, просто и эффективно. В данном разделе нашего образовательного портала, открытом для учащихся как Москвы, так и других городов, представлены доступно изложенный теоретический материал и формулы по тригонометрии для ЕГЭ. Также ко всем математическим определениям мы подобрали примеры с подробным описанием хода их решения.

После изучения теории по разделу «Тригонометрия» при подготовке к ЕГЭ рекомендуем перейти в «Каталоги», для того чтобы полученные знания лучше усвоились. Здесь вы сможете выбрать задачи по интересующей теме и просмотреть их решения. Таким образом, повторение теории по тригонометрии в ЕГЭ будет максимально эффективным.

Что нужно знать?

Прежде всего необходимо выучить значения \(sin\) , \(cos\) , \(tg\) , \(ctg\) острых углов от \(0°\) до \(90°\) . Также при подготовке к ЕГЭ в Москве стоит запомнить основные методы решения заданий по тригонометрии. Следует учесть, что, выполняя задачи, вы должны привести уравнение к простейшему виду. Сделать это можно следующим образом:

  • разложив уравнение на множители;
  • заменив переменную (сведение к алгебраическим уравнениям);
  • приведя к однородному уравнению;
  • перейдя к половинному углу;
  • преобразовав произведения в сумму;
  • введя вспомогательный угол;
  • использовав способ универсальной подстановки.

При этом чаще всего учащемуся приходится в ходе решения использовать несколько из перечисленных методов.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎