Дифференцирование функций комплексного переменного

Так как производная функции комплексного переменного определяется, как и в действительной области, т.е. в виде предела , то, используя это определение и свойства пределов, несложно убедиться в справедливости правил дифференцирования, известных из математического анализа. А именно имеет место следующее утверждение.

1. Сумма, произведение функций, дифференцируемых в точке, есть функция, дифференцируемая в этой точке, и справедливы равенства:

Из этого свойства и очевидного равенства следует

2. Частное функций, дифференцируемых в точке, есть функция, дифференцируемая в этой точке, при условии, что знаменатель в точке не равен нулю:

3. Сложная функция комплексного переменного дифференцируема в точке , если в этой точке дифференцируема функция , а функция дифференцируема в точке , где и . При этом в точке имеет место формула

Пример 2.29. Доказать дифференцируемость во всей плоскости функций: a) ; б) . Найти их производные.

а) По определению производной для любой точки записываем ; предел существует для любой точки и и любого приращения

Выражение раскрываем по формуле бинома Ньютона:

в результате получаем

Предел существует, следовательно, функция дифференцируема в точке . Так как — произвольная точка плоскости, то доказана дифференцируемость — натуральное) при любом .

Пример 2.30. Исследовать дифференцируемость функций комплексного переменного:

а) — многочлен степени ; б) — рациональная функция.

а) Дифференцируемость многочлена в любой точке следует из дифференцируемости функции отношения двух многочленов в любой точке из области определения, т.е. за исключением нулей знаменателя, получается из результата п. "а" и п. 2 утверждения 2.5.

Пример 2.31. Найти модуль и аргумент производной в точке , если

а) Используя правила дифференцирования, находим . Поэтому для любой точки и .

б) Используя правила дифференцирования частного, находим

Поэтому в результате имеем .

в) Используя результат примера 2.29, находим , поэтому и .

Условия Коши-Римана дифференцируемости функции

Очевидно, между свойствами дифференцируемости функции комплексного переменного как функции точки плоскости и дифференцируемостью ее действительной и мнимой частей как функций двух действительных переменных существует тесная связь.

1. Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные ее действительной и мнимой частей и выполняются условия Коши-Римана :

2. Если и дифференцируемы в точке и в этой точке выполняются условия (2.19), то функция дифференцируема в точке .

3. Производная дифференцируемой функции может быть записана по одной из формул:

Доказательство этих утверждений не представляет трудностей и опирается только на определения дифференцируемости функций .

Анализ утверждения 2.6 позволяет сделать следующие полезные для исследования функций на дифференцируемость замечания.

1. Выполнение условий (2.19) является необходимым условием дифференцируемости функции в точке. Следовательно, их невыполнения достаточно для утверждения о том, что функция не является дифференцируемой в соответствующей точке.

2. Условия (2.19) не являются достаточными. Согласно п.2 утверждения 2.6 в соответствующей точке должны быть дифференцируемы функции и . Напомним, что условием дифференцируемости функции двух действительных переменных в точке является существование и непрерывность частных производных в этой точке.

Из утверждения 2.6 и замечаний 2.7 следует правило исследования функции на дифференцируемость.

Правило 2.1. Для исследования функции на дифференцируемость и нахождения ее производной следует выполнить следующие операции.

1. Для заданной функции найти действительную и мнимую части:

2. Найти частные производные функций .

3. Проверить выполнение условий Коши-Римана. Точки, в которых эти условия не выполняются, являются точками, где функция не дифференцируема. Точки, в которых условия (2.19) выполняются и частные производные являются непрерывными, принадлежат области, где функция дифференцируема.

4. Записать выражение производной в точках дифференцируемости по одной из формул (2.20).

Пример 2.32. Исследовать на дифференцируемость функцию .

Для решения выделим два случая.

Первый случай. Рассмотрим произвольную точку . Исследование проводим по правилу 2.1.

2. Очевидно, для любой точки. Находим частные производные функции . Для нахождения положим и, учитывая определение модуля, рассмотрим два случая: ) и ). Получаем

3. Проверяем условие (2.19). Условие выполняется в точках прямой при любом . Условие выполняется в точках прямой . Вместе эти условия не выполняются ни в одной точке. Согласно п.2 замечаний 2.7 функция не является дифференцируемой.

Второй случай. Рассмотрим точку в точке , используя определение:

3. Условие Коши-Римана (2.19) в точке (то есть в точке . Это можно сделать, установив непрерывность частных производных в точке .

В данном случае удобнее проверить дифференцируемость в точке рассмотрим произвольное приращение . Далее записываем предел

Производная в точке или в комплексной форме . Тогда выражение для предела принимает вид

из чего следует, что значение предела зависит от , можно записать

По определению не существует и функция не дифференцируема в точке Пример 2.33. Исследовать на дифференцируемость функции: а) ; б) .

а) Найдем решение, используя правило 2.1.

2. Определяем частные производные: .

3. Условия Коши-Римана (2.19) выполняются только в точке . Непрерывность частных производных очевидна. Следовательно, функция дифференцируема только в одной точке и .

2,3. Условия (2.19) не выполняются ни в одной точке, так как . Следовательно, функция не дифференцируема всюду.

Пример 2.34. Исследовать на дифференцируемость функцию Решение

1. Из равенства находим .

2. Находим частные производные:

3. Условия (2.19) выполняются в любой точке , и частные производные, очевидно, непрерывны всюду. Поэтому функция . Действительно, записываем производную По формуле (2.20), используя найденные частные производные

Условия Коши-Римана в полярных координатах

Пример 2.35. Записать условия Коши-Римана в полярных координатах.

Решение. Пусть дифференцируема в точке . Находим частные производные сложных функций , где

или, в силу условий (2.19),

или, используя условия (2.19):

Сравнивая равенства для и , имеем , а из равенств для и получаем . Выписываем результат:

Это и есть искомые условия Коши-Римана в полярных координатах .

Пример 2.36. Записать производную функции для случая в полярных координатах.

Пусть и . Запишем частные производные по правилу дифференцирования сложной функции:

Используя условия (2.21), запишем выражение для . Получим

Далее находим производные функций и выписываем выражения, стоящие в скобках:

Для производной получаем выражение

Пример 2.37. Исследовать на дифференцируемость функцию . Найти производную.

В области — плоскости с разрезом по действительной положительной полуоси, функция однозначная (см. рис. 2.5). Исследуем ее на дифференцируемость по правилу 2.1, используя запись в полярных координатах.

1. Из равенства имеем .

2. Находим частные производные: .

3. Условия (2.21) выполняются в любой точке области . Используя формулу (2.22), записываем производную

Геометрический смысл модуля и аргумента производной

Производная как функция комплексного переменного определяет отображение некоторой области на область определено комплексное число , следовательно, определены и , если . Геометрически число — длина радиуса-вектора точки , a — угол наклона этого радиуса-вектора к действительной оси.

Возникает вопрос, как характеризуют эти величины само отображение в точке . Как известно, для функции действительной переменной аналогичный вопрос решается просто: производная определяет угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке .

Рассмотрим геометрические свойства величин и , полагая , а функцию дифференцируемой в окрестности точки . Так как по определению производной предел в точке не зависит от направления и способа стремления , проходящую через точку , и на ней любую точку .

Образ кривой при отображении обозначим и и и . Приращения переменных и геометрически есть векторы (рис. 2.13,а), их длины — .

Из определения производной и свойства предела имеем , следовательно,

Последнее неравенство, согласно определению, означает . Перепишем его следующим образом:

где и — длины соответствующих дуг кривых , как известно, эквивалентных при стягивающим их хордам и ; и — элементы длин дуг в точках и соответственно.

Отношение определяет изменение масштаба (растяжение, сжатие) в точке при отображении . В этом заключается геометрический смысл модуля производной.

Величина не зависит от вида кривой , поэтому отмеченное свойство имеет место и для любой другой гладкой кривой, проходящей через точку .

Следовательно, величина модуля производной есть величина постоянная для данной функции и данной точки .

Для аргумента производной имеет место равенство , где и — углы между действительными осями в плоскостях и соответственно и касательными, проведенными к кривым и в точке (рис. 2.13,а).

Если точки и совместить, то — угол поворота кривой в точке при отображении (рис. 2.13,б).

В этом заключается геометрический смысл аргумента производной аналитической функции.

Это свойство, очевидно, имеет место и для любой другой гладкой i кривых и проходящих через точки и соответственно, . Из равенств и получаем . Это означает, что угол между кривыми и — в равен углу между кривым и (рис. 2.14). Следовательно, при отображении сохраняются углы между кривыми.

Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным.

Полученные результаты сформулируем в виде утверждения.

1. Модуль производной функции , дифференцируемой в окрестности точки , есть коэффициент линейного растяжения кривой в точке при отображении .

2. Аргумент производной в точке есть угол поворота кривой в этой точке при отображении .

3. Отображение с помощью дифференцируемой в окрестности точки функции , удовлетворяющее условию , является конформным в точке . Оно обладает свойством постоянства растяжения и сохранения углов. Причем углы сохраняются как по величине, так и по направлению отсчета.

Пример 2.38. Найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке .

Находим производную , ее значение в точке . Коэффициент , угол поворота — аргументу производной .

Пример 2.39. Определить, какая часть плоскости при отображении Решение

Находим производную . Множество точек , для которых , то есть , очевидно, образует часть плоскости, которая при отображении растягивается. Следовательно, при отображении растягивается, а внутренняя часть сжимается.

Пример 2.40. Показать, что при отображении соответствует двум ортогональным семействам кривых плоскости .

Так как , то отображение — это совокупность линий . Очевидно, любая пара таких линий в точках пересечения образует прямой угол (рис. 2.15,а). Прообразами этих линий в плоскости (г) будут два семейства гипербол: и (рис. 2.15,б). Они получаются из равенства или . Линии рассматриваются при любых значениях . Заметим, что при линии проходят через точку .

Покажем, что гиперболы и при любых пересекаются под прямым углом, т.е. прямой угол образуют касательные к этим кривым в точке пересечения кривых (например, точка — находим по правилу дифференцирования неявной функции для кривой второго семейства . Но в точке пересечения верно равенство , поэтому .