Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ (задание 9; 13; 18) Тема: Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрический круг

2 Основные тригонометрические формулы sin cos tg cos sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin 8 tg tg tg tg 9 tg tg ctg sin 4 tgctg sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin tg tg tg tg sin sin cos tg tg tg cos cos sin cos sin cos cos 5 cos sin 4 6 cos cos 7 sin cos 8 sinsin sin cos 9 sinsin sin cos coscos cos cos cos cos sin sin sin cos sin sin sin sin cos cos 4 cos cos cos cos 5 cos cos 6 cos sin 7 cos tg cos tg sin 9 tg 8 tg cos tg a b cos sin sin, sin,cos a b a b a x b x a b x

3 Алгоритм применения формул приведения Исследуем функцию на четность/нечетность cos t cost sin t sint tg t tgt ctg t ctgt Исследуем функцию на периодичность sin t k sint T T cost Tsin t tgt T ctgt или Представим угол в виде: cos t k cost tg t k tgt ctg t k ctgt t, k t, t или t, где t I 4 Определим знак исходной функции и поставим его перед приводимой функцией 5 Для углов вида t или t название функции изменяем на ко-функцию ; для углов вида t название функции не изменяем t или

4 Задание 9 Преобразование тригонометрических выражений Найдите значение выражения: 4sin9 sin4 4sin9 4 sin9 sin 4 sin 6 9 sin 9 sin9 Ответ: - 4 ) 7tg tg77 7tg tg 9 7tg ctg 7 Ответ: 7 sin 7 cos 7 sin 7 cos 7 cos 7 cos 8 7 cos 8 7 cos7 cos 7 Ответ: ) 4 7 sin, если sin,96 и,5 ; ) Применяем формулы приведения: 7 sin sin 4 sin sin cos ) Для нахождения cos используем основное тригонометрическое тождество и определяем знак косинуса во II четверти: cos sin, II, cos cos,96 (,96)(,96), 4,96,, 4, 8 ) Находим значение выражения: 7 sin ( cos ) cos (, 8) ( ), 8,8, 8,8 Ответ: -,8

5 Задание Некоторые приемы отбора корней тригонометрических уравнений 5 а) Решите уравнение cos x sinx ; б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ; x sin x, а) Тк cos то уравнение примет вид sin x sin x cos x sin x sin x cos x sin x или sin x cos x : cos x x k tgx k tgx x n, n 6 ; б) Отбор корней проведем по окружности x, x, x 6 6 Ответ: а) k, n; k, n ; 6 б),, 6

6 6 а) Решите уравнение 7 sin x sin 8x cos6x ; б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ; 7 а) sin x sin 4 x sin x cos x ; Уравнение примет вид cosx cos8x cos6x cos 6x cos x cos8x cos4x cosx cos 4x cos4x cosx cos4x cos 4x или cos x cos 4x 4 x k sin x sin x k x 8 4 sin x или sin x k x n x m n m x m sin 8x cos8x б) ; m x Проведем отбор корней, решая двойное неравенство k ) x, k 8 4 k k 4 k,5 k, x 8 k, x m m m 6 m m,5 m, x m, x ) x, Ответ: а) 8 k m, ; km, ; б) 4. 8 8

7 7 а) Решите уравнение ; cos 4x cos x б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ; а) Тк cos 4x sin4x, то уравнение примет вид sin 4x cos x sin x cos x 4sin x cosx cos x 4cos x 4sin x cosx sin x cosx sin x cosx sin x : cosx tgx tgx x arctg k k x arctg, k б) x; x ; Отбор корней проведем по окружности x arctg x arctg x arctg x arctg Ответ: а) б) k arctg, k ; arctg; arctg

8 8 а) Решите уравнение arctg x arccos,5 sin 4 sin x cos 4 cos 7 б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ; ; а) Тк arctg ; arccos(,5) ; cos(7 x) sin x; cos4 cos (8 4 ) cos 4, то уравнение примет вид sin 4 sin x cos 4 sin x sin x (sin 4 cos 4 ) sin x x k 6, k 5 x k 6 sin 4 sin x : cos 4 ( sin x) б) 5 5 ; ; ; ) ) Отбор корней проведем по окружности ) x 5 ; 5 x ) 5 ; 7 x 6 6 Ответ: а) б) 5 k, k, k ; ,, 6 6 6

9 Задание 8 Тригонометрические уравнения с параметром 9 При каких значениях a уравнение одно решение? cosx 4sin x a a имеет хотя бы sin x 4sin x a a 4sin x 4sin x a a 4sin x 4sin x a a D a a a a a a a 4 a sin x 4 a a sin x sin x 4 4 или a a () sin x () sin x Исходное уравнение имеет хотя бы одно решение, если будет иметь решение хотя бы одно из полученных простейших уравнений () или () и, поскольку sin x, то a a a 4 a a 4 Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет решение Ответ: ;4 4 cos x 4sin x a 4 cos x 4sin x a 4 4 cos x cos x sin x sin x sin x, то уравнение примет вид Тк 4 sin x 6sin x a D 9 a a 7, a 7, a 7 4 sin x a 7 () sin x a 7 или () sin x a 7 Исходное уравнение имеет решение, если имеет решение хотя бы одно из полученных простейших уравнений () или () и, поскольку sin x, то a 7 или a 7 a 7 a Ответ: ;

10 При каких значениях a уравнения sinxsinx и a sin x sinx cos4x a 4sinx равносильны? Решим первое уравнение: x x Преобразуем второе уравнение: sin x sin sin sin x sinx a sinx cos4x a 4 sin x a sin x a 5 a sin x cos4x a 4 или sin x a sin x sin x a a a 7 D a a a sin x 4 a 5 sin x или sin x Второе уравнение равносильно совокупности трех уравнений sin x sin x a 5 sin x Исходные уравнения равносильны, если они имеют одинаковые корни Заметим, что во втором a 5 уравнении равносильности «мешает» уравнение sin x Следовательно, надо найти такие значения параметра, при которых это уравнение или не дает новых корней, или вообще их не имеет Поэтому a 5 a 5 a 5 a 7 a ; 7 5 ; a a 5 a 7 Ответ: ; 7 5 ;

11 Найти все значения a, при каждом из которых уравнение 4cos x a cos x,5cos x,5 имеет хотя бы один корень I способ 4cos x a cos x,5 cos x,5 cos x a cos x 4 Пусть t cos x, тогда исходное уравнение имеет хотя t a t 4 бы один корень, если уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку ; Рассмотрим функцию является парабола, ветви вверх Тк f t t a t 4 Графиком f 4, то парабола пересекает ось абсцисс и уравнение имеет корни Чтобы корень попал на отрезок ;, необходимо выполнение следующих условий: f a 4 f a 4 a a 6 II способ Выразим a из уравнения t a t 4 и тк t корнем уравнения не является, то 4 a t t Далее, с помощью производной находим множество 4 значений функции f t t при t t ; ; Ответ: ; 6 ;

12 Тест Задание 9 Преобразование тригонометрических выражений Найдите значение выражения 4cos46 cos4 Ответ: -4 Найдите значение выражения 5 tg 6 tg7 Ответ: -5 Найдите значение выражения 5tg7 tg7 Ответ: -5 4 Найдите значение выражения sin 7 cos 7 Ответ: 5 Найдите sin, если sin,8 и ;,5 Ответ:,56 6 Найдите cos, если 7 cos 5 и,5 ; Ответ: 9, Задание Некоторые приемы отбора корней тригонометрических уравнений 7 а) Решите уравнение x cos x sin ; б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 8 а) Решите уравнение 5 4 ; Ответ: а) k, 4 n; k, n ; б), x x cos x sin cos б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ; Ответ: а) 7 9 k, k, k ; б)

13 9 а) Решите уравнение cos8 x 4sin 4x ; б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ; Ответ: а) cos 4 sin ; ; а) Решите уравнение x x б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку k 5 k, ; k ; б) 7, k Ответ: а), n; k, n ; б) ; ; ; ; arcctg ; arcsin ; а) Решите уравнение sin 5 cos x sin 4 sin 7 x б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Ответ: а) n, n ; б) 7 5 ; ; Задание 8 Тригонометрические уравнения с параметром При каких значениях a уравнение 8sin x cos x a 4a не имеет решений? ; 6; Ответ: Найти все значения параметра a, при которых уравнение решение 4 sin x cos x a 5 имеет Ответ: 6; 4 При каких значениях a уравнения sin x sin x равносильны? sinx a sin x a sin x и Ответ: ; 4;