2. Формы закона распределения случайной величины: ряд распределения, функция распределения, функция плотности распределения

Способы или формы представления закона распределения случайной величины могут быть различны.

Наиболее просто решается задача вероятностной оценки для дискретной случайной величины. Для этого достаточно указать, какой вероятностью обладает каждое из событий х1, х2, х3, … хn: Р(Х = х1) = р1; Р(Х = х2) = р2; Р(Х = х3) = р3; Р(Х = хn) = рn.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х = .

Пусть вероятность попадания в цель равна 0,3 и от выстрела к выстрелу не изменяется.

Возможные частные значения случайной величины Х = могут быть следующими: ни одного попадания – х1 = 0; одно попадание – х2 = 1; два попадания – х3 = 2; все три попадания – х4 = 3.

Вероятности частных значений случайной величины найдем по формуле Бернулли:

Проведем проверку учета всех гипотез:

0,343 + 0,441 + 0,189 + 0,027 = 1

Таким образом, мы определили вероятность наступления каждого из всех несовместных событий и с вероятностной точки зрения полностью охарактеризовали случайную величину Х = , поставив в соответствие каждому частному значению случайной величины х1= 0; х2= 1; х3= 2; х4= 3 вероятность его появления: =0,343, =0,441, =0,189, =0,027.

Такая форма закона распределения дискретной случайной величины называется рядом распределения.

Закон распределения дискретной случайной величины, когда каждому частному значению х1, х2, х3, … хn случайной величины Х ставится в соответствие её вероятность:

Р(Х = х1) = р1; Р(Х = х2) = р2; Р(Х = х3) = р3; Р(Х = хn) = рn.

называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Ряд распределения, как правило, представляют в виде таблицы, где в верхней строке в порядке возрастания размещают возможные частные значения случайных величин, а в нижней – соответствующие им вероятности.

При составлении ряда распределения следует иметь в виду, что все события являются несовместными, т.к. случайная величина Х может принять в результате испытания только одно значение. Эти события случайны, т.к. нельзя указать, какое значение примет случайная величина и, последнее, все события должны образовывать полную группу событий, т.к. никаких других событий, кроме перечисленных, в результате опыта произойти не может.

На основании вышеизложенного, что события Х = хi(i= 1, 2, 3, …n) образуют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей всех возможных частных значений должна удовлетворять условию:

Ряд распределения можно представить графически, для этого по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений (рис. 4).

Для наглядности вершины полученных ординат соединяют пунктирными отрезками. Следует помнить, что соединение вершин прямыми делается только в целях наглядности, т.к. в промежутках между х1их2;х2их3и т.д., дискретная случайная величина Х значений принять не может, следовательно, вероятность ее появления в этих промежутках равна 0. Полученную фигуру называютмногоугольником распределения.

Рассмотренный ряд распределения является весьма удобной формой представления закона распределения. Однако основным недостатком данной формы закона распределения является то, что область его применения ограничивается распределением дискретной случайной величины с конечным числом возможных значений.

Для непрерывной случайной величины, когда возможные значения случайной величины заполняют всю числовую ось или какой-то ее интервал, поставить в соответствие каждому частному значению случайной величины соответствующую ему вероятность, невозможно. Множество возможных значений такой случайной величины несчетно (их невозможно перечислить в верхней части таблицы). Это вызывает необходимость иметь такую форму представления закона распределения, которая была бы приемлема не только для вероятностной характеристики дискретной случайной величины, но и для непрерывной, когда необходимо определить вероятность появления случайной величины на некотором промежутке числовой оси.

То есть, иметь какую то универсальную форму закона распределения для всех типов случайной величины.

Для количественной характеристики распределения как дискретной, так и непрерывной случайной величины, удобно воспользоваться не вероятностью события Х = хi, а вероятностью события Х < х, где х – некоторая текущая переменная. Вероятность такого события есть некоторая функция от х –F(x). Эта функция носит название функции распределения случайной величины Х.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция аргумента х, равная вероятности того, что случайная величина примет любое значение, меньше чем х.

На примере дискретной случайной величины Х = покажем, как возможно составить фикцию распределения. (Однако здесь необходимо несколько абстрагироваться от того, что число попаданий может быть только натуральными числами: 0, 1, 2, 3, но и иметь дробное значение, а также меньше 0 и больше 3, т.е. рассмотреть все возможные значения числовой оси)

Рассчитаем функцию распределения дискретной случайной величины Х = :