Вопросы к экзамену: Дифференциальные уравнения и уравнения математической физики

1. обыкновенное дифференциальное уравнение, основные определения и понятия 2. задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения разрешенного относительно производной, существование и единственность решения (без доказательства), особые решения 3. метод Лагранжа для обыкновенного линейного дифференциального уравнения 4. задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения разрешенного относительно производной, существование и единственность решения (доказательства) 5. теорема об эквивалентности решения задачи Коши и соответствующего интегрального уравнения (доказательство)

6. задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения неразрешенного относительно производной, существование и единственность решения (доказательство) 7. метод введения параметра для интегрирования дифференциального уравнения неразрешенного относительно производной 8. интегрирование дифференциального уравнения Лагранжа м Клеро, неразрешенного относительно производной 9. интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов, соответствующие теоремы (без доказательства) 10. непрерывная зависимость решения обыкновенного дифференциального уравнения от параметра, теорема (без доказательства), пример 11. линейные обыкновенные однородные дифференциальные уравнения высших порядков, задача Коши, определитель Вронского (теорема, замечание), фундаментальная система решений (ФСР) (теоремы) 12. линейные обыкновенные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков, принцип суперпозиции, пример 13. метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных) решения линейных обыкновенных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков, пример 14. метод Коши решения линейных обыкновенных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков, пример 15. система линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений, задача Коши, определитель Вронского (теорема), определитель Грамма (теорема) 16. система линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений, матрициант, матрица Коши, ее физический смысл 17. система линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений, задача Коши, принцип суперпозиции 18. метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных) решения системы линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений, пример 19. формула Коши для решения системы линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений 20. функции от матриц, теорема Кэли - Гамильтона, матричная экспонента 21. использование интерполяционного полинома Лагранжа для построения матричной экспоненты 22. линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка (колебательные процессы), тождество Лагранжа 23. постановка краевой задачи для линейного неоднородного обыкновенного дифференциальное уравнение второго порядка, функция Грина 24. решение краевой задачи для линейного неоднородного обыкновенного дифференциальное уравнение второго порядка, теоремы с доказательством, пример 25. краевая задача Штурма-Лиувилля, свойства собственных значений 26. краевая задача для линейного однородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка и интегральные уравнения (получение через функцию Грина), интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма 27. дифференциальное уравнение Бесселя, Г-функция 28. получение решения дифференциального уравнения Бесселя в виде ряда (цилиндрические функции Бесселя первого рода) 29. определение устойчивости и асимптотической устойчивости дифференциальной системы по Ляпунову, устойчивость линейных дифференциальных систем - классификация возможных случаев 30. нелинейные дифференциальные системы, устойчивость по первому приближению 31. нелинейные дифференциальные системы, функция Ляпунова, теоремы Ляпунова 32. классификация дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных 33. приведение дифференциального уравнения в частных производных второго порядка к каноническому виду 34. постановка краевых задач для уравнения параболического типа в одномерном случае 35. понятие о методе прямых для параболической краевой задачи 36. постановка краевых задач для уравнения гиперболического типа в одномерном случае 37. понятие о методе прямых для гиперболической краевой задачи 38. постановка краевых задач для уравнения эллиптического типа в двумерном случае (оператор Лапласа на круге) 39. схема решения параболической краевой задачи методом разложения в ортогональный ряд по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля 40. схема решения гиперболической краевой задачи методом разложения в ортогональный ряд по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля 41. схема решения эллиптической краевой задачи методом разложения в ортогональный ряд по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля (внутренняя задача для оператора Лапласа на круге) 42. решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с помощью интегрального преобразования Фурье 43. интеграл Пуассона, ядро Пуассона 44. метод Ритца численного решения вариационной задачи с функционалом вида

45. применение схемы метода Ритца для решение краевой задачи Дирихле с оператором Лапласа

46. теорема о единственности решения краевой задачи с самосопряженным оператором 47. теорема об эквивалентности решения краевой задачи с самосопряженным оператором и вариационной задачи с соответствующим функционалом