Векторный способ задания движения точки. Координатный способ задания движения точки , страница 6
· разделяем переменные в дифференциальном уравнении или и интегрируем по времени дифференциальные уравнения с разделенными переменными с учетом начальных условий задачи, вычисляем угловую скорость твердого тела или уравнение вращения твердого тела ;
· вычисляем скорость любой точки твердого тела , ускорение любой точки твердого тела .
Задачи для самостоятельного решения
1. Угловая скорость зубчатого колеса (диаметр колеса D= 50мм) равна рад/с. Каким должен быть диаметр зубчатого колеса , находящегося с колесом во внутреннем зацеплении, угловая скорость которого в три раза больше угловой скорости колеса ?
2. Станок со шкивом приводится в движение из состояния покоя бесконечным ремнем от шкива электромотора; радиусы шкивов см; см, после пуска в ход электромотора его угловое ускорение с -2 . Пренебрегая скольжением ремня по шкивам, вычислить, через какое время угловая скорость станка будет рад/с.
3. Вал радиусом см приводится во вращение гирей , привешенной к нему на нерастяжимой нити. Движение гири задано уравнением , где - расстояние гири от места схода нити с поверхности вала, - время в секундах.Вычислить угловую скорость и угловое ускорение вала, полное ускорение точки на его поверхности в момент времени .
4. Механизм, состоящий из двух составных дисков, приводится в движение гирей, подвешенной к одному из дисков на нерастяжимой нити. Движение гири задано уравнением (м). Вычислить скорость точки А и ускорение точки В через 1 с, если м, м, м, м.
5. Механизм, состоящий из двух дисков, приводится в движение рейкой, находящейся в зацеплении с первым диском. Движение рейки задано уравнением (м).Вычислить скорость точки А и ускорение точки В через 3 с, если м, м,
6. Механизм, состоящий из двух ступенчатых дисков, приводится в движение грузом, подвешенным к диску 2 нерастяжимой нитью. Движение гири задано уравнением (м). Вычислить скорость точки А и ускорение точки В через
2с, если м, м, м, м.
7. Вычислить скорости точек А, С и ускорение точки В через с, если задано уравнение движения груза (см); см, см, см, см, см, см.
8. Вычислить скорости точек А, С и ускорение точки В через с, если задано уравнение движения зубчатой рейки (см); см, см, см, см, см, см.
9. Вычислить скорость точки А и ускорение точек С и В через с, если уравнение движения груза 3, если (см), см; см; см; см; см; см.
3. Сложное движение точки
Вспомни теорию
Абсолютная скорость. Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее относительной и переносной скорости:
Здесь - скорость относительного движения,
– скорость переносного движения.
Вычисление относительной скорости . Скорость вычисляется в зависимости от способа задания относительного движения.
А. Движение точки в ее относительном движении задано координатным способом, т.е. в декартовой системе координат задают функции тогда
Б. Движение точки в ее относительном движении задано естественным способом, т.е. задана траектория движения точки и функциональная зависимость дуговой координаты со временем . Выбирают yнаправление осей естественного трехгранника τ, n.
Вычисление переносной скорости. Рассмотрим частные случаи вычисления переносной скорости.
1. Подвижная система координат движется поступательно со скоростью . В этом случае и переносная скорость совпадает со скоростью подвижной системы координат, т.е.
2. Подвижная система координат вращается относительно неподвижной оси c угловой скоростью . В этом случае , тогда переносная скорость:
Абсолютное ускорение. Абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений: относительного, переносного и ускорения Кориолиса.
Здесь: – ускорение относительного движения,
– переносное ускорение,
– ускорение Кориолиса.
Вычисление относительного ускорения. Относительное ускорение вычисляется в зависимости от способа задания относительного движения.
А. При координатном способе задания относительного движения точки М:
Б. При естественном способе задания движения:
здесь – радиус кривизны относительной траектории точки М.
Вектор относительного ускорения расположен в соприкасающейся плоскости относительного движения.
Вычисление переносного ускорения. Переносное ускорение вычисляется в зависимости от способа задания относительного движения и движения подвижной системы координат.
А. Подвижная система координат движется поступательно. В этом случае и , следовательно, переносное ускорение точки М:
Б. Подвижная система координат вращается относительно неподвижной оси с угловой скоростью и угловым ускорением . В этом случае , тогда переносное ускорение
Если точка движется по окружности радиусом h, то здесь:
Вектор переносного ускорения расположен в соприкасающейся плоскости переносного движения, т.е. в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Вычисление ускорения Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса:
Вектор ускорения Кориолиса направлен перпендикулярно вектору угловой скорости , т. е. .
Правило Жуковского: чтобы получить направление ускорения Кориолиса, следует вектор проекции относительной скорости на плоскость, перпендикулярную , повернуть на вокруг оси вращения в направлении дуговой стрелки вращения (рис.3.1).