ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. Постановка задачи. Предварительный анализ. Движение без учета сопротивления воздуха

1 Ришельевский лицей Кафедра физики ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ Приложение к компьютерной моделирующей программе FALL ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Постановка задачи Требуется решить основную задачу механики для тела, движущегося в поле земного тяготения Изменением силы тяжести с высотой пренебречь Предварительный анализ На летящее в земной атмосфере тело действуют две силы - сила тяжести сила отивления воздуха F Уравнение движения тела, выражающее второй закон Ньютона, имеет вид: ma m (1) F Рассмотрим вначале простейший случай Движение без учета отивления воздуха Поскольку отивление воздуха не учитывется, полагаем уравнения (1) получаем: a (), m и F = Тогда из те движение тела является равноускоренным, а ускорение тела не зависит от массы и равняется ускорению свободного падения Этот факт, полученный нами теоретически, был экспериментально установлен еще в конце 16 века Галилео Галилеем Для решения основной задачи механики необходимо выбрать систему отсчета и задать начальные условия Пусть в выбранной системе отсчета тело брошено из некоторой точки с координатами, с начальной скоростью под углом к горизонту Тогда начальные условия при t = имеют вид:, (3), cos (4), (5) sin

2 Поскольку ускорение тела перпендикулярно оси X, то проекция вектора на эту ось равна нулю, те вдоль оси X тело движется без ускорения: a Это означает, что проекция скорости со временем остается неизменной, мы имеем дело с равномерным движением вдоль оси X: (6) Поскольку вектор направлен против оси Y, то его проекция на эту ось равна - С таким ускорением тело движется вдоль оси Y: a = - Мы видим что ускорение тела вдоль оси Y постоянно, поэтому в соответствии с формулой для скорости при равноускоренном движении - t (7) Подставляя выражение (4) в формулу (6), а выражение (5) в формулу (7), получаем: cos sin t (8) (9) Пользуясь формулой для пути при равномерном движении и формулой для пути при равноускоренном движении, запишем выражения для координат тела: Отсюда с помощью (4) и (5) получаем: t cos t at t t sin t Выражения (1) и (11) являются решением основной задачи механики для произвольных начальных условий Проанализируем это решение для важнейших частных случев 1 11

3 Свободное падение тела из состояния покоя Пусть тело падает с высоты h из состояния покоя Тогда начальные условия имеют вид Из (11) имеем:, h, t h Время падения с высоты h находим из условия = и получаем: 1 t h 13 Подставим t в формулу (9) и определим скорость тела в момент касания Земли: t h 14 Движение тела, брошенного вертикально вверх Считаем, что при t = тело находится в начале координат Тогда o,, 9 В высшей точке подъема тело на мгновение останавливается, прежде чем начать движение вниз В этот момент, и из уравнения (9) легко найти время достижения максимальной высоты: t Подставим (15) в (9) и после преобразований получим высоту подъема тела: 15 h 16 Движение тела, брошенного горизонтально Пусть тело бросают с высоты h со скоростю в направлении оси X Тогда полагаем, h, При горизонтальном броске начальное значение равняется нулю, как и при свободном падении из состояния покоя Движение вдоль оси X происходит одновременно с движением вдоль оси Y и независимо от него Поэтому нетрудно понять, что время достижения телом поверхности Земли по-прежнему 3

4 определяется формулой (13) Координата точки падения получается подстановкой (13) в формулу (1): h 17 Движение тела, брошенного под углом к горизонту Пусть тело бросают из точки, Сначала найдем время достижения максимальной высоты, положив в (9) : t sin 18 Подставив это время в (11), получим максимальную высоту подъема тела: h sin 19 Падение тела произойдет за время t Подстановка удвоенного значения t из (18) в формулу (1) дает выражение для дальности полета l: l sin Чтобы получить уравнение траектории тела = (), необходимо исключить время из уравнений (1) и (11) Это приводит к выражению: t 1 t 1 Оно описывает семейство параболических тректорий, зависящее от двух параметров - начальной скорости и угла Уравнение (1) позволяет, в частности, определять параметры стрельбы для попадания в цель, находящуюся на заданной высоте и удалении В качестве примера рассмотрим задачу о стрельбе из ружья, пренебрегая отивлением воздуха Необходимо попасть в цель, находящуюся на расстоянии S по горизонтали и на высоте h над горизонтальной плоскостью Будем считать скорость пули известной величиной Под каким углом к горизонту следует направить ствол ружья? Чтобы ответить на этот вопрос, потребуем, чтобы траектория пули проходила через точку с координатами = S, = h 4

5 На основании (1) записываем: h S t S 1 t Это квадратное уравнение, где неизвестным является t Если дискриминант S h 4 положителен, то уравнение имеет два вещественных корня, те в цель можно попасть по двум различным траекториям (настильной и навесной) Если дискриминант отрицателен, то при данном значении в цель нельзя попасть ни при каком значении Ясно, что равенство нулю дискриминанта определяет минимальную начальную скорость, при которой еще можно попасть в цель: min h h S Учет силы отивления воздуха Пусть движущееся тело имеет симметричную форму, так что направление силы отивления противоположно направлению вектора скорости Данное условие выполняется, например, для шара, но не выполняется для тела в форме крыла Установлено, что с хорошей степенью точности величина силы пропорциональна квадрату скорости тела: F k, где коэффициент k определяется формой и размерами тела и свойствами среды, в которой оно движется Перепишем уравнение движения (1) для проекций векторов на координатные оси: Учтем, что Кроме того, F F ma ma, F F m m F F, х cos k sin k cos, sin 3 cos sin, 5

6 Учитывая эти соотношения, из уравнений (3) получаем: a a K K 4 Здесь введено обозначение K k m 5 Решение системы уравнений движения (4) весьма сложно, однако некоторые важные выводы можно сделать сразу 1 Прежде всего отметим, что величина K обратно пропорциональна массе тела Поэтому на движении легкого тела сила отивления будет сказываться сильнее, чем на движении тяжелого тела тех же размеров и формы Из-за того, что сила отивления возрастает с увеличением скорости, рано или поздно эта сила уравновесит силу тяжести При этом скорость тела установится постоянной Найти установившуюся скорость можно, полагая в (4) a a уст Нетрудно догадаться, что влиянием силы отивления можно пренебречь, когда выполняется условие: K 3 В системе (4) в уравнение для a наряду с входит величина, и, точно так же, величина a зависит от Следовательно, вертикальная составляющая движения зависит от горизонтальной составляющей и наоборот Это приводит к целому ряду необычных результатов Например, тело, падающее вертикально без начальной скорости, достигнет земли раньше (. ), чем то же тело, брошенное с той же высоты горизонтально Движение тела при наличии ветра Говорить о влиянии ветра имеет смысл только тогда, когда учитывается наличие силы отивления воздуха Пусть ветер дует в направлении оси X, и его скорость равна V Это означает, что вся воздушная масса перемещается в пространстве с указанной скоростью Сила отивления определяется скоростью тела относительно воздуха, поэтому при вычислении F имеет смысл временно перейти в движущуюся систему отсчета, связанную с воздухом Уравнения движения тела при наличии ветра имеют вид:

7 a a K K V V V Попытайтесь записать их самостоятельно ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1-й уровень сложности Если это специально не оговорено, наличие силы отивления воздуха не учитывайте 11 Что назывется свободным падением тела? 1 Можно ли считать свободным падением движение тела, брошенного под углом к горизонту, если можно пренебречь отивлением воздуха? А если отивлением пренебречь нельзя? 13 С каким ускорением движется свободно падающее тело? Тело, брошенное вертикально вверх? 14 По какой траектории движется тело, брошенное горизонтально? 15 По какой траектории движется тело, брошенное под углом к горизонту? 16 Как в ходе движения изменяется потенциальная, кинетическая и полная энергия тела, брошенного под углом к горизонту? -й уровень сложности Если это специально не оговорено, наличие силы отивления воздуха не учитывайте 1 Чем отличается ускорение, сообщаемое телам силой тяжести, от ускорений, которые сообщают им другие силы? 7

8 Почему ускорение, сообщаемое телу силой тяжести, не зависит от его массы? 3 Если бы тело падало на Землю с высоты в несколько тысяч километров, было бы его движение равноускоренным? Зависело бы в этом случае ускорение от массы тела (влиянием воздуха атмосферы на движение тела пренебречь)? 4 Каким должен быть угол бросания тела, чтобы дальность его полета была максимальной? Будет ли этот угол тем же, если тело брошено из точки, находящейся на некоторой высоте над Землей? 5 Каким должен быть угол бросания тела, чтобы высота его подъема над Землей была максимальна? 6 Каким должен быть угол бросания тела, чтобы время его полета было максимально? 7 Два тела одновременно начинают двигаться с высоты h Одно из них начинает падает вертикально из состояния покоя, а другое бросают горизонтально Какое из тел первым упадет на Землю? 3-й уровень сложности При ответе учитывайте наличие силы отивления воздуха 31 Чем определяются величина и направление силы, действующей на тело со стороны окружающего его воздуха? 3 Теннисный мяч и чугунное ядро одновременно начинают движение с одной высоты из состояния покоя Какое из тел имеет большее ускорение в начальный момент времени? В момент касания Земли? Какое из тел первым достигнет Земли? 33 Теннисный мяч и чугунное ядро одновременно бросают вертикально вверх с одинаковой начальной скоростью У какого из тел ускорение имеет большую 8

9 величину в начальный момент времени? В момент достижения наибольшей высоты? В момент падения на Землю? Какое из тел первым достигнет наибольшей высоты? Какое из тел первым упадет на Землю? 34 Вам необходимо забросить тело как можно дальше Какой угол бросания следует для этого выбирать: равный 45 градусам, больше 45 градусов, меньше 45 градусов? 35 Два одинаковых тела одновременно начинают двигаться с высоты h Одно из них падает вертикально из состояния покоя, а другое бросают горизонтально Какое из тел первым упадет на Землю? 36 Тело бросают под некоторым углом к горизонту В каком случае оно достигнет большей высоты: при встречном ветре, при попутном ветре или в безветренную погоду? 37 Какими были бы Ваши ответы на два предыдущих вопроса, если бы сила отивления была пропорциональна не квадрату, а первой степени скорости? ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ Здесь приведено описание только одной лабораторной работы из 18 Описание остальных работ содержится в теле в информационном разделе самой программы FALL Прежде всего необходимо отметить, что во всех случаях компьютер не выполняет за учащегося никакой работы по обработке и оформлению экспериментальных данных Все расчеты, построение таблиц и графиков учащийся должен выполнить самостоятельно Роль компьютера - заменить реальное экспериментальное оборудование компьютерной моделью Работа 33 Определение оптимального угла бросания тела при наличии отивления воздуха Установите начальные координаты тела = =, начальную скорость = 3 м/с Из справочной таблицы возьмите значение 9 K для волейбольного мяча Запустите моделирующую программу для следующих значений угла бросания o o o o : 5, 7, 9,51,

10 в каждом случае определяя дальность полета тела l Значения и l занесите в заранее подготовленную таблицу Постройте график зависимости l () Из графика определите оптимальный угол бросания опт, при котором дальность полета тела оказывается максимальной Повторите исследование для новых значений = 6 м/с, 8 м/с, 1 м/с Постройте график зависимости опт( ) Попытайтесь, не прибегая к расчетам, объяснить поведение кривой Какой характер, по Вашему мнению, имела бы зависимость опт( ) для теннисного мяча, футбольного мяча (нарисуйте примерный вид графика)? Приложение СПРАВОЧНАЯ ТАБЛИЦА Значения коэффициентов k, K и установившейсяскорости уст для движения различных тел сферической формы в воздухе Тело масса кг k кг/м K 1/м уст м/с 3 мяч для пинг-понга теннисный мяч волейбольный мяч футбольный мяч ядро спортивное