Задача C1: тригонометрические уравнения и формула двойного угла

Очень часто в задачах C1 из ЕГЭ по математике ученикам предлагают решить тригонометрическое уравнение, содержащее формулу двойного угла.

Сегодня мы вновь будем разбирать задачу С1 и, в частности, разберем довольно нестандартный пример, который одновременно вместил в себе и формулу двойного угла, и даже однородное уравнение. Итак:

Решите уравнение. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку:

sinx+ sin 2 x 2 − cos 2 x 2 ,x∈ [ −2 π ;− π 2 ]

\sin x+\frac-\frac,x\in \left[ -2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >;-\frac\!\!\pi\!\!\text< >> \right]

Полезные формулы для решения

Прежде всего, хотел бы напомнить, что все задания С1 решаются по одной и той же схеме. В первую очередь, исходную конструкцию нужно преобразовать в выражении, в котором содержится синус, косинус или тангенс:

sinx=a

\sin x=a

cosx=a

\cos x=a

tg x=a

tgx=a

Именно в этом состоит основная сложность задания С1. Дело в том, что для каждого конкретного выражения требуются свои выкладки, с помощью которых можно перейти от исходника к таким простейшим конструкциям. В нашем случае это формула двойного угла. Давайте я запишу ее:

cos2x= cos 2 x− sin 2 x

\cos 2x=x-x

Однако в нашем задании нет cos 2 x x или sin 2 x x, зато есть sin 2 x 2 \frac и cos 2 x 2 \frac.

Решаем задачу

Что же делать с этими выкладками? Давайте мы немножко схитрим, и в наши формулы синуса и косинуса двойного угла введем новую переменную:

x= t 2

x=\frac

Мы запишем такую конструкцию с синусом и косинусом:

cos2⋅ t 2 = cos 2 t 2 − sin 2 t 2

\cos 2\cdot \frac=\frac-\frac

Или другими словами:

cost= cos 2 t 2 − sin 2 t 2

\cos t=\frac-\frac

Возвращаемся к нашему исходному заданию. Давайте sin 2 x 2 \frac перенесем вправо:

sinx= cos 2 x 2 − sin 2 x 2

\sin x=\frac-\frac

Справа стоит именно те самые выкладки, которые мы только что записали. Давайте мы преобразуем их:

sinx=cosx

\sin x=\cos x

А теперь внимание: перед нами однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Смотрите, у нас нет никаких слагаемых, состоящих просто из чисел и просто из x x, у нас есть только синус и косинус. Также у нас нет квадратных тригонометрических функций, все функции идут в первой степени. Как решаются такие конструкции? В первую очередь, давайте предположим, что cosx=0 \cos x=0.

Подставим это значение в основное тригонометрическое тождество:

sin 2 x+ cos 2 x=1

x+x=1

sin 2 x+0=1

x+0=1

sinx=±1

\sin x=\pm 1

Если эти числа, 0 и ±1, мы подставим в исходную конструкцию, то получим следующее:

±1 = 0

\pm 1\text< >=\text< >0

Мы получили полный бред. Следовательно, наше предположение, что cosx=0 \cos x=0 неверно, cosx \cos x не может быть равен 0 в данном выражении. А если cosx \cos x не равен 0, то давайте разделим обе стороны на cosx \cos x:

sinx cosx =1

\frac=1

sinx cosx =tg x

\frac=tgx

tg x=1

tgx=1

И вот мы получили долгожданное простейшее выражение вида tg x=a tgx=a. Прекрасно, решаем его. Это табличное значение:

x= π 4 + π n,n ˜ ∈Z

x=\frac\!\!\pi\!\!\text< >>+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >n,n˜\in Z

Мы нашли корень, мы решили первую часть задачи, т. е. честно заработали один первичный балл из двух.

Переходим ко второй части: найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку, а, точнее, отрезку

[\left[ -2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >;-\frac\!\!\pi\!\!\text< >> \right]\]. Предлагаю, как и в прошлый раз решать это выражение графически, т. е. нарисовать окружность, отметить в ней начало, т. е. 0, а также концы отрезка:

-2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >;-\frac нужно найти все значения, которые принадлежат

\frac\!\!\pi\!\!\text< >>+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >n. А теперь самое веселое: дело в том, что сама точка π 4 \frac\!\!\pi\!\!\text< >> не принадлежит отрезку

π 4 ∉ ˜ [ −2 π ;− π 2 ]

Уже хотя бы потому, что оба конца этого отрезка отрицательные, а число π 4 \frac\!\!\pi\!\!\text< >> положительное, но с другой стороны, какие-то значения вида

\frac\!\!\pi\!\!\text< >>+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >n все-таки принадлежат нашему отрезку. Так как же их выделить? Очень просто: берем конец отрезка

-2\text< >\!\!\pi\!\!\text < >и прибавляем π 4 \frac\!\!\pi\!\!\text< >> , т. е. все происходит то же самое, как если бы мы начали отчет не от 0, а от −2 π -2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >, и у нас найдется первая точка:

x=−2 π + π 4 =− 7 π 4

Теперь второе число:

x=−2 π + π 4 + π =− 3 π 4

Это и есть второе значение. Других корней нет, потому что мы сами при их разметке и при отметке нашего отрезка ограничения обнаружили, что внутри этого отрезка лежат лишь два вида — π 4 \frac\!\!\pi\!\!\text< >> и π 4 + π \frac\!\!\pi\!\!\text< >>+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >. Эти точки мы и наши. Выписываем ответ:

За такое решение вы получите два первичных балла из двух возможных.

Что нужно помнить для правильного решения

Еще раз ключевые шаги, которые необходимо выполнить. В первую очередь, нужно знать выкладки двойного угла синуса или косинуса, в частности, именно в нашей задаче, косинус двойного угла. Кроме того, после его применения необходимо решить простейшее тригонометрическое уравнение. Решается оно довольно просто, однако необходимо написать и проверить, что cosx \cos x в нашей конструкции не равен 0. После тригонометрического уравнения мы получаем элементарное выражение, в нашем случае это tg x=1 tgx=1, которое легко решается по стандартным формулам, известным еще с 9-10 класса. Таким образом, мы решим пример и получим ответ на первую часть задания — множество всех корней. В нашем случае это

\frac\!\!\pi\!\!\text< >>+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >n,n\in ˜Z. Затем остается лишь отобрать корни, принадлежащие отрезку

\left[ -2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >;-\frac\!\!\pi\!\!\text< >> \right]. Для этого мы снова чертим тригонометрический круг, отмечаем на нем наши корни и наш отрезок, а затем отсчитываем от конца то самое π 4 \frac\!\!\pi\!\!\text< >> и π 4 + π \frac\!\!\pi\!\!\text< >>+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >, которые получились во время отметки всех корней вида π 4 + π n \frac\!\!\pi\!\!\text< >>+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >n. После несложного счета мы получили два конкретных корня, а, именно,

-\frac\!\!\pi\!\!\text< >>, которые являются ответом ко второй части задачи, т. е. корнями, принадлежащими отрезку

Ключевые моменты

Чтобы без проблем справиться с задачами C1 такого типа, запомните две основные формулы:

sin2 α =2sin α cos α

\sin 2\text< >\!\!\alpha\!\!\text< >=2\sin \text< >\!\!\alpha\!\!\text< >\cos \text< >\!\!\alpha\!\!\text < >— эта формула для синусов всегда работает именно в таком виде;

С первой все понятно. Но что за варианты возможны во втором случае? Дело в том, что косинус двойного угла можно записать по-разному:

cos2 α =cos2 α −sin2 α =2cos2 α −1=1−2sin2 α

\cos 2\text< >\!\!\alpha\!\!\text< >=\cos 2\text< >\!\!\alpha\!\!\text< >-\sin 2\text< >\!\!\alpha\!\!\text< >=2\cos 2\text< >\!\!\alpha\!\!\text< >-1=1-2\sin 2\text< >\!\!\alpha\!\!\text

Эти равенства следуют из основного тригонометрического тождества. Ну и какое равенство выбрать при решении конкретного примера C1? Все просто: если вы планируете свести конструкцию к синусам, то выбирайте последнее разложение, в котором присутствует только

\sin 2\text< >\!\!\alpha\!\!\text< >. И наоборот, если хотите свести все выражение к работе с косинусами, выбирайте второй вариант — тот, где косинус является единственной тригонометрической функцией.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎