Теория функций действительного переменного/Мера множеств, измеримые функции

Понятие меры множества является обобщением таких важных понятий математики, как:

• длина отрезка прямой;
• площадь плоской фигуры;
• объём тела.

Понятие меры перешло из теории функций действительного переменного в теорию вероятностей, теорию динамических систем, функциональный анализ и другие области математики.

Содержание

Мера [ править ]

Понятие меры множеств может быть введено аксиоматически.

Мерой называется функция множества   μ ( A ) , заданная на полукольце множеств, принимающая неотрицательные вещественные значения и обладающая свойством аддитивности: для любого конечного разложения множества на объединение попарно непересекающихся множеств

имеет место равенство

Мера пустого множества равна нулю, это следует из равенства

и аддитивности меры

непересекающихся множеств, поэтому в силу аддитивности меры

из этого представления следует равенство

Доказательство.

B_\in _,j\neq k\Rightarrow B_\cap B_=\varnothing > .

Возьмём объединение всех A k :

Аналогичные рассуждения можно провести и для B j :

Для доказательства единственности достаточно указать на тот факт, что для любого продолжения меры μ 1 должно выполняться равенство

то выполняется неравенство

Доказательство.

В силу аддитивности меры

А так как мера — неотрицательная функция, то

то выполняется неравенство

Доказательство.

то по индукции можно показать, что

В силу аддитивности и неотрицательности нормы

откуда и следует утверждение теоремы.

Иногда приходится рассматривать не только конечные, но и счётные объединения множеств. Это приводит к необходимости введения более сильного требования, чем аддитивность меры.

A> и любой счётной системы множеств

имеет место равенство

Доказательство.

являются попарно непересекающимися, кроме того, имеют место равенства

А в силу теоремы 1:

Докажем теперь теоремы, обобщающие теоремы 2 и 3 на случай σ-аддитивных мер.

то выполняется неравенство

Доказательство. В силу теоремы 2, при любом натуральном n выполняется неравенство

Утверждение теоремы получается предельным переходом при n → ∞ .

то выполняется неравенство

Доказательство. Введём обозначение

Лебегово продолжение меры [ править ]

то выполняется неравенство

Доказательство этой теоремы совпадает с доказательством теоремы 4.

Если внешняя мера рассматривается только на измеримых множествах, то её называют лебеговой мерой и обозначают μ ( A ) . При этом

Доказательство. Так как имеют место равенства

то для доказательства данной теоремы нужно показать, что если

что выполняются неравенства

и выполняется соотношение

Доказательство. Пусть даны множества

а по по теореме 7 для любого натурального числа N :

откуда следует, что

Из σ-аддитивности меры Лебега следует её непрерывность.

Доказательство. Введём следующее обозначение:

В силу σ-аддитивности меры

что и требовалось доказать.

Следствие. Если дана последовательность вложенных множеств вида

то имеет место равенство

Для доказательства нужно применить теорему 10 к последовательности множеств

ограничены некоторым независящим от N числом.

Всякую σ-аддитивную меру, заданную на σ-алгебре, можно продолжить до полной меры, положив равной нулю меру произвольного подмножества каждого множества меры нуль. В дальнейшем мы будем предполагать, что любая σ-аддитивная мера, заданная на σ-алгебре, является полной.

Измеримые функции [ править ]

Понятие измеримой функции обобщает понятие непрерывной функции.

выполняется для любого борелевского подмножества комплексной плоскости. Можно доказать, что это условие равносильно μ -измеримости действительной и мнимой части данной функции.

Если из контекста понятно, о какой мере идёт речь, то вместо «μ-измеримая функция» часто говорят просто «измеримая функция».

Числовая функция, заданная на вещественной прямой, называется борелевской или B-измеримой, если прообраз каждого боролевского множества есть борелевское множество.

z = ϕ ( x ) = g ( f ( x ) )

Доказательство.

Замечание. Иногда условие данной теоремы принимают за определение измеримой функции.

Как видно из определения, понятие измеримой функции можно ввести независимо от наличия меры, достаточно указать, какие множества области определения и области значения являются измеримыми.

Теорема 2.3. Сумма, разность и произведение двух измеримых функций является измеримой функцией. Частное двух измеримых функций является измеримой функцией, если знаменатель не обращается в нуль.

Доказательство.

является измеримым, это следует из разложения

где объединение берётся по всем рациональным числам. Отсюда следует, что измеримо множество

Таким образом, сумма измеримых функций является измеримой функцией. Из равенства

следует, что разность измеримых функций измерима.

Для доказательства измеримости произведения двух измеримых функций воспользуемся тождеством

Сумма и разность измеримых функций измеримы по доказанному. Квадрат измеримой функции измерим в силу теоремы 1.

Во всех случаях справа получаем измеримое множество. Из равенства

следует, что отношение измеримых функций измеримо, если знаменатель не обращается в нуль.

Доказательство.

отличаются друг от друга лишь на множество меры нуль. А так как меру без ограничения общности можно считать полной, то из измеримости второго множества следует измеримость первого. Утверждение теоремы следует отсюда по определению измеримой функции.

Используя понятие сходимости почти всюду, можно обобщить Теорему 2.4:

Доказательство.

По определению сходимости почти всюду:

Следующая важная теорема устанавливает связь между сходимостью почти всюду и равномерной сходимостью. Она замечательна, потому что может показаться очевидно неверной, однако она верна.

Дмитрий Фёдорович Егоров был одним из основателей московской математической школы, он был близко знаком с Н. Лузиным. Благодаря этой школе впервые наша отечественная наука вышла на лидирующие позиции в области математики. Это было достигнуто в двух-трёх поколениях людей, участвовавших в этой московской математической школе, у истоков которой стоял сам Егоров. О нём раньше мы не знали, поскольку он по совместительству был церковным старостой, что ему после революции "вышло боком" (т. е. его отправили в ссылку). Все участники школы (в частности, и сам Колмогоров) знали о Дмитрии Егорове, но написать в книжке это было решительно невозможно. Поэтому долгое время фигурировал безымянный человек, который по всему должен был быть выдающимся отечественным математиком, а был непонятно кто, к сожалению. Как известно из истории, потом времена переменились и, конечно, таких героев, как Дмитрий Егоров, сейчас надо знать. Егоров доказал вот такую удивительную теорему.

Каждый разумный человек, учивший математический анализ, скажет, что это явная и очевидная глупость. Потому что равномерная сходимость гораздо более "сильная", скажем так, чем просто поточечная сходимость (тут не то, что поточечная сходимость, а ещё сходимость почти всюду). Становится непонятно, о чём тут говорить. Другими словами, если вырезать множество сколь угодно малой меры, то на остатке сделать из сходимости почти всюду другую — сходимость равномерную, нам покажется, вообще говоря, нереальным.

Как известно, очевидные вещи делятся на 2 класса: 1) очевидные и верные и 2) очевидные и неверные. И очевидно неверные вещи тоже делятся на 2 класса: а) очевидно неверные, но таки верные, и б) очевидно неверные, которые на самом деле неверные.

Так вот теорема Егорова — это пример утверждения, который на первый взгляд кажется очевидно неверным, но на самом деле оно верно. Можно сказать даже, что это утверждение безумной силы, потому что этим условием дальше пользовались многие учёные [например, А. Лебег].

Между прочим, теорема Егорова является одной из первых теорем, которая ведёт по пути решения задачи об удвоении шара.

P.S. Доказательство этой теоремы было представлено в Москве.

Доказательство.

из данного определения ясно, что при заданном m выполняются включения